双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, b > 0$) 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 左、右顶点分别为 $A_1, A_2$, 以 $F_1F_2$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点, 且 $\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}$, 则 （ ）

已知双曲线 $C: x^2 - y^2 = m (m > 0)$, 点 $P_1(5, 4)$ 在 $C$ 上, $k$ 为常数, $0 < k < 1$. 构造点 $P_n$: 过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$, 令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点.

(1) 若 $k = \frac{1}{2}$, 求 $x_2, y_2$;

(2) 证明: $\{x_n - y_n\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列;

(3) 证明: 对于任意正整数 $n$, $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 的面积 $S_n = S_{n+1}$.

对于曲线 $C$, 若存在点 $M$, 使得对任意的点 $P \in C$, 都存在 $Q \in C$, 且 $|PM| \cdot |QM| = 1$, 则称曲线 $C$ 为"自相关曲线".有以下结论: ① 任何椭圆都是"自相关曲线"; ② 存在双曲线是"自相关曲线".关于上述两个结论, 说法正确的是 （ ）

双曲线 $C$ 中心在原点, 左焦点 $(-2\sqrt{5}, 0)$, 离心率 $\sqrt{5}$。

(1) 求 $C$ 方程;

(2) 过 $(-4, 0)$ 的直线交 $C$ 左支于 $M,N$, $M$ 在第二象限, $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于 $P$, 证明 $P$ 在定直线上。