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11高考真题6分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy) = y^2f(x) + x^2f(y), 则 （ ）
A.
f(0)=0f(0) = 0
B.
f(1)=0f(1) = 0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x = 0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023新高考I卷 · 第 11 题 · 多选题

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12高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
f(x)f(x) 是定义在 R\mathbb{R} 上的奇函数, f(1+x)=f(1−x)f(1+x) = f(1-x), 当 0≤x≤10 \le x \le 1 时 f(x)=x(1−x)f(x) = x(1-x), 则 f(2023)=f(2023) = （ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22

2023全国甲卷(文) · 第 12 题 · 选择题

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13高考真题5分函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=(x−1)2+ax+sin⁡(x+π2)f(x)=(x-1)^{2}+ax+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) 为偶函数，则 a=a=___

2023全国甲卷理科 · 第 13 题 · 填空题

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15高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a > 0, 函数 f(x)={x+2,x<−aa2−x2,−a≤x≤a−x−1,x>af(x) = \begin{cases} x+2, & x < -a \\ \sqrt{a^2-x^2}, & -a \le x \le a \\ -\sqrt{x}-1, & x > a \end{cases}
给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1, +\infty) 上单调递减；
② 当 a≥1a \ge 1 时, f(x)f(x) 存在最大值；
③ 设 M(x1,f(x1))(x1≤a)M(x_1, f(x_1)) (x_1 \le a), N(x2,f(x2))(x2>a)N(x_2, f(x_2)) (x_2 > a), 则 ∣MN∣>1|MN| > 1；
④ 设 P(x3,f(x3))(x3<−a)P(x_3, f(x_3)) (x_3 < -a), Q(x4,f(x4))(x4≥−a)Q(x_4, f(x_4)) (x_4 \ge -a)。若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值, 则 aa 的取值范围是 (0,12](0, \frac{1}{2}]。
其中所有正确结论的序号是______。

2023北京卷 · 第 15 题 · 填空题

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16高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
设 a∈(0,1)a \in (0, 1), 若函数 f(x)=ax+(1+a)xf(x) = a^x + (1+a)^x 在 (0,+∞)(0, +\infty) 单调递增, 则 aa 的取值范围是______。

2023全国乙卷(理) · 第 16 题 · 填空题

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18高考真题14分函数与初等函数★★★★☆
设 aa、c∈Rc \in \mathbb{R}, f(x)=x2+(3a+1)x+cx+af(x) = \dfrac{x^2 + (3a + 1)x + c}{x + a}.
(1) 当 a=0a = 0 时, 是否存在实数 cc, 使得 y=f(x)y = f(x) 为奇函数? 请说明理由;
(2) 若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象过点 (1,3)(1, 3), 且其与 xx 轴的负半轴有两个不同的交点, 求 cc 的值及 aa 的取值范围.

2023上海卷 · 第 18 题 · 解答题

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23高考真题10分不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2|x-a|-a。
（1）求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集；
（2）若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 22，求 aa。

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05高考真题4分三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x−sin⁡2xf(x) = \cos^2 x - \sin^2 x, 则 （ ）
A.
f(x)f(x) 在 (−π2,−π6)\left(-\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{6}\right) 上单调递减
B.
f(x)f(x) 在 (−π4,π12)\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{12}\right) 上单调递增
C.
f(x)f(x) 在 (0,π3)\left(0, \dfrac{\pi}{3}\right) 上单调递减
D.
f(x)f(x) 在 (π4,7π12)\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{12}\right) 上单调递增

2022北京卷 · 第 5 题 · 选择题

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08高考真题5分函数与初等函数★★☆☆☆
如图是下列四个函数中的某个函数在 [−3,3][-3, 3] 的大致图象，则该函数是（ ）
A.
y=−x3+3xx2+1y = \dfrac{-x^3 + 3x}{x^2 + 1}
B.
y=x3−xx2+1y = \dfrac{x^3 - x}{x^2 + 1}
C.
y=2xcos⁡xx2+1y = \dfrac{2^x \cos x}{x^2 + 1}
D.
y=2sin⁡xx2+1y = \dfrac{2\sin x}{x^2 + 1}

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11高考真题5分函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x+1−xf(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x} 的定义域是 ______

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12高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x),g(x)f(x), g(x) 的定义域均为 R\mathbb{R}, 且 f(x)+g(2−x)=5f(x) + g(2 - x) = 5, g(x)−f(x−4)=7g(x) - f(x - 4) = 7. 若 y=g(x)y = g(x) 的图象关于直线 x=2x = 2 对称, g(2)=4g(2) = 4, 则 ∑k=122f(k)=\sum_{k=1}^{22} f(k) = （ ）
A.
−21-21
B.
−22-22
C.
−23-23
D.
−24-24

2022全国乙卷(理) · 第 12 题 · 选择题

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14高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)={−ax+1,x<a,(x−2)2,x⩾a.f(x) = \begin{cases} -ax + 1, & x < a, \\ (x - 2)^2, & x \geqslant a. \end{cases} 若 f(x)f(x) 存在最小值, 则 aa 的一个取值为 ______;;a的最大值为______的最大值为 \_\_\_\_\_\_

2022北京卷 · 第 14 题 · 填空题

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16高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=ln⁡∣a+11−x∣+bf(x) = \ln\left|a + \dfrac{1}{1 - x}\right| + b 是奇函数，则 a=a = ______，b=b = ______。

2022全国乙卷(文) · 第 16 题 · 填空题

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20高考真题12分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x) = ax - \dfrac{1}{x} - (a + 1)\ln x。
(1) 当 a=0a = 0 时，求 f(x)f(x) 的最大值；
(2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围。

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21高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x) = \ln(1 + x) + axe^{-x}。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1, 0), (0,+∞)(0, +\infty) 各恰有一个零点, 求 aa 的取值范围。

2022全国乙卷(理) · 第 21 题 · 解答题

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