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01高考真题5分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={−2,−1,0,1,2,3}U = \{-2,-1,0,1,2,3\}，集合 A={−1,0,1,3}A = \{-1,0,1,3\}，集合 B={−2,0,1}B = \{-2,0,1\}，则 (∁UA)∪B=(∁_U A) \cup B = （ ）
A.
{-2}
B.
{-2,2}
C.
{0,1,2}
D.
{-2,0,1,2}

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02高考真题5分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 x∈Rx \in R，则“x>0x > 0”是“x2+3x>0x^2 + 3x > 0”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

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03高考真题5分概率与统计★★☆☆☆
调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数 r=−0.91r = -0.91，根据最小二乘法算得：y^=−1.17x+1370.7\hat{y} = -1.17x + 1370.7，下列说法正确的是（ ）
A.
yy 与 xx 负相关
B.
当 x=10x = 10 时，yy 一定为 13591359
C.
当 x=10x = 10 时，yy 一定小于 13591359
D.
两变量无线性关系

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04高考真题5分函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)f(x) 的部分图象如图所示，则 f(x)f(x) 的解析式可能为（ ）
A.
x + sin⁡\sin\pi x
B.
x - sin⁡\sin\pi x
C.
-x + sin⁡\sin\pi x
D.
x \cdot sin⁡\sin\pi x

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05高考真题5分立体几何初步★★☆☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，错误的是（ ）
A.
AB // A_1B_1
B.
AD_1 \perp 面\text{面} ABC
C.
AC_1 // 面\text{面} A_1B_1C
D.
AC_1 \perp 面\text{面} A_1D_1B

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06高考真题5分指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣ln⁡x∣f(x) = |\ln x|，若 a=f(20.3)a = f(2^{0.3})，b=f(30.3)b = f(3^{0.3})，c=f(3−0.5)c = f(3^{-0.5})，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a < b < c
B.
b < a < c
C.
c < b < a
D.
c < a < b

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07高考真题5分不等式★★☆☆☆
(x+1x)(x+4x)(x + \frac{1}{x})(x + \frac{4}{x}) 的最小值为（ ）
A.
10
B.
9
C.
8
D.
6

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08高考真题5分数列★★★☆☆
已知 S2n−Sn=nS_{2n} - S_n = n，a3=6a_3 = 6，则 a7+a8=a_7 + a_8 = （ ）
A.
68
B.
56
C.
-3
D.
-4

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09高考真题5分解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左焦点为 FF， AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA| = |FP|，∠FAP=30∘\angle FAP = 30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
4
B.
8
C.
3\sqrt{3}
D.
43\frac{4}{3}

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10高考真题5分复数★☆☆☆☆
化简 (3+i)2=(3 + i)^2 = ______。

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11高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+2y)4(x + 2y)^4 展开式中 x3yx^3y 的系数为 ______。

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12高考真题5分三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，BC=4BC = 4，AC=3AC = 3，cos⁡A=−14\cos A = -\frac{1}{4}，则 sin⁡B=\sin B = ______。

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13高考真题5分概率与统计★★★☆☆
箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是 ______；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是 ______。

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14高考真题5分平面向量★★★★☆
已知 ∣a⃗∣=a⃗⋅b⃗=1|\vec{a}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1，∣b⃗∣>1|\vec{b}| > 1，记 c⃗=λa⃗+μb⃗\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}。当 a⃗+b⃗−c⃗=0⃗\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \vec{0} 时，λ+μ=\lambda + \mu = ______，当 ∣a⃗+b⃗−c⃗∣=1|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = 1 时，λ+μ\lambda + \mu 的取值范围为 ______。

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15高考真题5分解析几何★★★★★
在平面内，OO 为坐标原点，抛物线 y2=2xy^2 = 2x 上有 AA、BB、CC、DD 四个点，其纵坐标分别为 yA,yB,yC,yDy_A, y_B, y_C, y_D，直线 ABAB 与直线 CDCD 交 xx 轴于点 PP，直线 ACAC 交 xx 轴于点 MM，直线 BDBD 交 xx 轴于点 NN，以下说法正确的有 ______。
①若 PP 与抛物线焦点重合，则 yAyB=−2y_A y_B = -2；
②yAyB=yCyDy_A y_B = y_C y_D；
③∣OM∣∣ON∣=2∣OP∣2|OM||ON| = 2|OP|^2；
④∣yA−yC∣∣OP∣=∣yB−yD∣∣OM∣|y_A - y_C||OP| = |y_B - y_D||OM|；
⑤S△APCS△BPD=(∣OM∣∣ON∣)2\frac{S_{\triangle APC}}{S_{\triangle BPD}} = (\frac{|OM|}{|ON|})^2

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=sin⁡(2x+π6)f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})。
(1) 求最小正周期；
(2) 若 x∈[−π6,π12]x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{12}]，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值；
(3) 若 α∈(0,π2)\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})，sin⁡α=33\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}，求 f(α)f(\alpha)。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB = 2，AA1=3AA_1 = 3，AD=4AD = 4，A1E=3ED1A_1E = 3ED_1，2C1F=FC2C_1F = FC。
(1) 求证：BA1⊥面AEFBA_1 \perp \text{面} AEF；
(2) 求面 AEFAEF 与面 ABCABC 的夹角的余弦值；
(3) 求三棱锥 A−A1EFA - A_1EF 的体积。

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18高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 A:x2a2+y2b2=1A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx = b 截得的线段长为 3\sqrt{3}。
(1) 求 AA 的标准方程；
(2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2 + y^2 = b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) (y1<y2y_1 < y_2)，AA 是椭圆的上顶点。记直线 AP,AQAP, AQ 的斜率分别为 k1,k2k_1, k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}。

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19高考真题17分数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1 = 2，b1=1b_1 = 1，a2=b1+b2a_2 = b_1 + b_2，a4=b3−b1a_4 = b_3 - b_1。
(1) 求数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的通项公式；
(2) 记 En={x∈R∣x≤n,∃k∈N∗,x=ak 或 x=bk}E_n = \{x \in R \mid x \le n, \exists k \in N^*, x = a_k \text{ 或 } x = b_k\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数。
(i) 求 c3nc_{3n}；
(ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3n-1} (-1)^m \cdot a_m \cdot c_m。

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20高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ex−23sin⁡xf(x) = e^x - \frac{2}{3}\sin x。
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程；
(2) 当 x∈[−13,+∞)x \in [-\frac{1}{3}, +\infty) 时，证明 f(x)≥1+x3f(x) \ge 1 + \frac{x}{3}；
(3) 求实数 aa 的最大可能值，使得 f(11)⋅f(12)⋅f(13)⋯f(1n)≥(n+1)af(\frac{1}{1}) \cdot f(\frac{1}{2}) \cdot f(\frac{1}{3}) \cdots f(\frac{1}{n}) \ge (n+1)^a 对任意的 n∈N∗n \in N^* 都成立。

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01高考真题5分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4,5}U = \{1, 2, 3, 4, 5\}, 集合 A={1,3}A = \{1, 3\}, B={2,3,5}B = \{2, 3, 5\}, 则 ∁U(A∪B)=\complement_U (A \cup B) = （ ）
A.
{1,2,4,5}\{1, 2, 4, 5\}
B.
{1,3,4}\{1, 3, 4\}
C.
{1,2,3,5}\{1, 2, 3, 5\}
D.
{4}\{4\}

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02高考真题5分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知 x∈Rx \in \mathbb{R}, 则 "x=0x = 0" 是 "sin⁡2x=0\sin 2x = 0" 的 （ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2025天津卷 · 第 2 题 · 选择题

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03高考真题5分函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的部分图象如下图, 则 f(x)f(x) 的解析式可能为 （ ）
A.
f(x)=x1−∣x∣f(x) = \dfrac{x}{1 - |x|}
B.
f(x)=x∣x∣−1f(x) = \dfrac{x}{|x| - 1}
C.
f(x)=∣x∣1−x2f(x) = \dfrac{|x|}{1 - x^2}
D.
f(x)=∣x∣x2−1f(x) = \dfrac{|x|}{x^2 - 1}

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04高考真题5分立体几何初步★★☆☆☆
已知 mm 是一条直线, α\alpha, β\beta 是两个平面。下列命题正确的是 （ ）
A.
若 m∥αm \parallel \alpha, m∥βm \parallel \beta, 则 α∥β\alpha \parallel \beta
B.
若 m⊥αm \perp \alpha, m⊥βm \perp \beta, 则 α⊥β\alpha \perp \beta
C.
若 m∥αm \parallel \alpha, m⊥βm \perp \beta, 则 α⊥β\alpha \perp \beta
D.
若 α⊥β\alpha \perp \beta, m⊂αm \subset \alpha, 则 m⊥βm \perp \beta

2025天津卷 · 第 4 题 · 选择题

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05高考真题5分概率与统计★★☆☆☆
下列说法错误的是 （ ）
A.
若随机变量 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2), 则 P(X≤μ−σ)=P(X≥μ+σ)P(X \le \mu - \sigma) = P(X \ge \mu + \sigma)
B.
若随机变量 X∼N(1,22)X \sim N(1, 2^2), Y∼N(2,22)Y \sim N(2, 2^2), 则 P(X≤1)<P(Y≤2)P(X \le 1) < P(Y \le 2)
C.
样本相关系数的绝对值越接近 11, 则成对数据的线性相关程度越强
D.
样本相关系数的绝对值越接近 00, 则成对数据的线性相关程度越弱

2025天津卷 · 第 5 题 · 选择题

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