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09高考真题4分立体几何初步★★★☆☆
坡屋顶是我国传统建筑造型之一, 蕴含着丰富的数学元素。安装灯带可以勾勒出建筑轮廓, 展现造型之美。如图, 某坡屋顶可视为一个五面体, 其中两个面是全等的等腰梯形, 两个面是全等的等腰三角形。若 AB=25 mAB = 25\text{ m}, BC=10 mBC = 10\text{ m}, 且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 ABCDABCD 的夹角的正切值均为 145\frac{\sqrt{14}}{5}, 则该五面体的所有棱长之和为 （ ）
A.
102 m102\text{ m}
B.
112 m112\text{ m}
C.
117 m117\text{ m}
D.
125 m125\text{ m}

2023北京卷 · 第 9 题 · 选择题

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10高考真题4分数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=14(an−6)3+6a_{n+1} = \frac{1}{4}(a_n - 6)^3 + 6 (n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots), 则 （ ）
A.
当 a1=3a_1 = 3 时, {an}\{a_n\} 为递减数列, 且存在常数 M≤0M \le 0, 使得 an>Ma_n > M 恒成立
B.
当 a1=5a_1 = 5 时, {an}\{a_n\} 为递增数列, 且存在常数 M≤6M \le 6, 使得 an<Ma_n < M 恒成立
C.
当 a1=7a_1 = 7 时, {an}\{a_n\} 为递减数列, 且存在常数 M>6M > 6, 使得 an>Ma_n > M 恒成立
D.
当 a1=9a_1 = 9 时, {an}\{a_n\} 为递增数列, 且存在常数 M>0M > 0, 使得 an<Ma_n < M 恒成立

2023北京卷 · 第 10 题 · 选择题

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11高考真题5分函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=4x+log⁡2xf(x) = 4^x + \log_2 x, 则 f(12)=f(\frac{1}{2}) =______。

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12高考真题5分解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 CC 的焦点为 (−2,0)(-2, 0) 和 (2,0)(2, 0), 离心率为 2\sqrt{2}, 则 CC 的方程为______。

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13高考真题5分集合与逻辑基础★★★☆☆
已知命题 pp: 若 α,β\alpha, \beta 为第一象限角, 且 α>β\alpha > \beta, 则 tan⁡α>tan⁡β\tan \alpha > \tan \beta。能说明 pp 为假命题的一组 α,β\alpha, \beta 的值为 α=\alpha =______, β=\beta =______。

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14高考真题5分数列★★★☆☆
我国度量衡的发展有着悠久的历史, 战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”。已知 99 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 99 的数列 {an}\{a_n\}, 该数列的前 33 项成等差数列, 后 77 项成等比数列, 且 a1=1a_1 = 1, a5=12a_5 = 12, a9=192a_9 = 192, 则 a7=a_7 =______; 数列 {an}\{a_n\} 所有项的和为______。

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15高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a > 0, 函数 f(x)={x+2,x<−aa2−x2,−a≤x≤a−x−1,x>af(x) = \begin{cases} x+2, & x < -a \\ \sqrt{a^2-x^2}, & -a \le x \le a \\ -\sqrt{x}-1, & x > a \end{cases}
给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1, +\infty) 上单调递减；
② 当 a≥1a \ge 1 时, f(x)f(x) 存在最大值；
③ 设 M(x1,f(x1))(x1≤a)M(x_1, f(x_1)) (x_1 \le a), N(x2,f(x2))(x2>a)N(x_2, f(x_2)) (x_2 > a), 则 ∣MN∣>1|MN| > 1；
④ 设 P(x3,f(x3))(x3<−a)P(x_3, f(x_3)) (x_3 < -a), Q(x4,f(x4))(x4≥−a)Q(x_4, f(x_4)) (x_4 \ge -a)。若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值, 则 aa 的取值范围是 (0,12](0, \frac{1}{2}]。
其中所有正确结论的序号是______。

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16高考真题14分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在三棱锥 P−ABCP-ABC 中, PA⊥PA \perp 平面 ABCABC, PA=AB=BC=1PA = AB = BC = 1, PC=3PC = \sqrt{3}。
(1) 求证: BC⊥BC \perp 平面 PABPAB；
(2) 求二面角 A−PC−BA-PC-B 的大小。

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17高考真题14分三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωxcos⁡ϕ+cos⁡ωxsin⁡ϕf(x) = \sin \omega x \cos \phi + \cos \omega x \sin \phi (ω>0,∣ϕ∣<π2\omega > 0, |\phi| < \frac{\pi}{2})。
(1) 若 f(0)=−32f(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, 求 ϕ\phi 的值；
(2) 已知 f(x)f(x) 在区间 [−π3,2π3][-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}] 上单调递增, f(2π3)=1f(\frac{2\pi}{3}) = 1, 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使函数 f(x)f(x) 存在, 求 ω,ϕ\omega, \phi 的值。
条件①：f(π3)=1f(\frac{\pi}{3}) = 1；
条件②：f(−π3)=−1f(-\frac{\pi}{3}) = -1；
条件③：f(x)f(x) 在区间 [−π2,−π3][-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}] 上单调递减。

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18高考真题14分概率与统计★★★★☆
为研究某种农产品价格变化的规律, 收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据, 如下表所示。在描述价格变化时, 用“+”表示“上涨”, 即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”, 即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”, 即当天价格与前一天价格相同。
时段：第 1 天到第 20 天，价格变化：－ + + 0 － － － + + 0 + 0 － － + － + 0 0 +
时段：第 21 天到第 40 天，价格变化：0 + + 0 － － － + + 0 + 0 + － － － + 0 － +
用频率估计概率。
(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的。在未来的日子里任取 4 天, 试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；
(3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大。（结论不需要证明）

2023北京卷 · 第 18 题 · 解答题

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19高考真题14分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 53\frac{\sqrt{5}}{3}, A,CA, C 分别是 EE 的上、下顶点, B,DB, D 分别是 EE 的左、右顶点, ∣AC∣=4|AC| = 4。
(1) 求 EE 的方程；
(2) 设 PP 为第一象限内 EE 上的动点, 直线 PDPD 与直线 BCBC 交于点 MM, 直线 PAPA 与直线 y=−2y = -2 交于点 NN。求证: MN∥CDMN \parallel CD。

2023北京卷 · 第 19 题 · 解答题

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20高考真题14分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x−x3eax+bf(x) = x - x^3 e^{ax+b}, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1y = -x + 1。
(1) 求 a,ba, b 的值；
(2) 设函数 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 求 g(x)g(x) 的单调区间；
(3) 求 f(x)f(x) 的极值点个数。

2023北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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21高考真题14分数列★★★★★
已知数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的项数均为 mm (m>2m > 2), 且 an,bn∈{1,2,…,m}a_n, b_n \in \{1, 2, \dots, m\}, {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的前 nn 项和分别为 An,BnA_n, B_n, 并规定 A0=B0=0A_0 = B_0 = 0。对于 k∈{0,1,2,…,m}k \in \{0, 1, 2, \dots, m\}, 定义 rk=max⁡{i∣Bi≤Ak,i∈{0,1,2,…,m}}r_k = \max \{i \mid B_i \le A_k, i \in \{0, 1, 2, \dots, m\}\}。
(1) 若 a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=2,b3=3a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 3, b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 3, 写出 r0,r1,r2,r3r_0, r_1, r_2, r_3 的值；
(2) 若 a1≥b1a_1 \ge b_1, 且 2rj≤rj+1+rj−12r_j \le r_{j+1} + r_{j-1}, j=1,2,…,m−1j = 1, 2, \dots, m-1, 求 rnr_n；
(3) 证明：存在 p,q,s,t∈{0,1,2,…,m}p, q, s, t \in \{0, 1, 2, \dots, m\}, 满足 p>q,s>tp > q, s > t, 使得 Ap+Bt=Aq+BsA_p + B_t = A_q + B_s。

2023北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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01高考真题4分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={x∣−3<x<3}U = \{x \mid -3 < x < 3\}, 集合 A={x∣−2<x⩽1}A = \{x \mid -2 < x \leqslant 1\}, 则 ∁UA=\complement_U A = （ ）
A.
(−2,1](-2, 1]
B.
(−3,−2)∪[1,3)(-3, -2) \cup [1, 3)
C.
[−2,1)[-2, 1)
D.
(−3,−2]∪(1,3)(-3, -2] \cup (1, 3)

2022北京卷 · 第 1 题 · 选择题

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02高考真题4分复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 i⋅z=3−4ii \cdot z = 3 - 4i, 则 ∣z∣=|z| = （ ）
A.
11
B.
55
C.
77
D.
2525

2022北京卷 · 第 2 题 · 选择题

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03高考真题4分解析几何★★☆☆☆
若直线 2x+y−1=02x + y - 1 = 0 是圆 (x−a)2+y2=1(x - a)^2 + y^2 = 1 的一条对称轴, 则 a=a = （ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
−12-\dfrac{1}{2}
C.
11
D.
−1-1

2022北京卷 · 第 3 题 · 选择题

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04高考真题4分指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=11+2xf(x) = \dfrac{1}{1 + 2^x}, 则对任意实数 xx, 有 （ ）
A.
f(−x)+f(x)=0f(-x) + f(x) = 0
B.
f(−x)−f(x)=0f(-x) - f(x) = 0
C.
f(−x)+f(x)=1f(-x) + f(x) = 1
D.
f(−x)−f(x)=13f(-x) - f(x) = \dfrac{1}{3}

2022北京卷 · 第 4 题 · 选择题

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05高考真题4分三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x−sin⁡2xf(x) = \cos^2 x - \sin^2 x, 则 （ ）
A.
f(x)f(x) 在 (−π2,−π6)\left(-\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{6}\right) 上单调递减
B.
f(x)f(x) 在 (−π4,π12)\left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{12}\right) 上单调递增
C.
f(x)f(x) 在 (0,π3)\left(0, \dfrac{\pi}{3}\right) 上单调递减
D.
f(x)f(x) 在 (π4,7π12)\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{12}\right) 上单调递增

2022北京卷 · 第 5 题 · 选择题

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06高考真题4分数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公差不为 0 的无穷等差数列, 则“{an}\{a_n\} 为递增数列”是“存在正整数 N0N_0, 当 n>N0n > N_0 时, an>0a_n > 0”的 （ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2022北京卷 · 第 6 题 · 选择题

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07高考真题4分指数函数与对数函数★★☆☆☆
在北京冬奥会上, 国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术, 为实现绿色冬奥作出了贡献。如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 TT 和 lg⁡P\lg P 的关系, 其中 TT 表示温度, 单位是 K; PP 表示压强, 单位是 bar。下列结论中正确的是 （ ）
A.
当 T=220,P=1026T = 220, P = 1026 时, 二氧化碳处于液态
B.
当 T=270,P=128T = 270, P = 128 时, 二氧化碳处于气态
C.
当 T=300,P=9987T = 300, P = 9987 时, 二氧化碳处于超临界状态
D.
当 T=360,P=729T = 360, P = 729 时, 二氧化碳处于超临界状态

2022北京卷 · 第 7 题 · 选择题

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08高考真题4分计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(2x - 1)^4 = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, 则 a0+a2+a4=a_0 + a_2 + a_4 = （ ）
A.
4040
B.
4141
C.
−40-40
D.
−41-41

2022北京卷 · 第 8 题 · 选择题

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09高考真题4分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱锥 P−ABCP-ABC 的六条棱长均为 6, SS 是 △ABC\triangle ABC 及其内部的点构成的集合, 设集合 T={Q∈S∣PQ⩽5}T = \{Q \in S \mid PQ \leqslant 5\}, 则 TT 表示的区域的面积为 （ ）
A.
3π4\dfrac{3\pi}{4}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
3π3\pi

2022北京卷 · 第 9 题 · 选择题

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10高考真题4分平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, AC=3,BC=4,∠C=90∘AC = 3, BC = 4, \angle C = 90^\circ。PP 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内的动点, 且 PC=1PC = 1, 则 PA⃗⋅PB⃗\vec{PA} \cdot \vec{PB} 的取值范围是 （ ）
A.
[−5,3][-5, 3]
B.
[−3,5][-3, 5]
C.
[−6,4][-6, 4]
D.
[−4,6][-4, 6]

2022北京卷 · 第 10 题 · 选择题

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11高考真题5分函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x+1−xf(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{1 - x} 的定义域是 ______

2022北京卷 · 第 11 题 · 填空题

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12高考真题5分解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 y2+x2m=1y^2 + \dfrac{x^2}{m} = 1 的渐近线方程为 y=±33xy = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} x, 则 m=______m = \_\_\_\_\_\_

2022北京卷 · 第 12 题 · 填空题

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