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18高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 A:x2a2+y2b2=1A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx = b 截得的线段长为 3\sqrt{3}。
(1) 求 AA 的标准方程；
(2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2 + y^2 = b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) (y1<y2y_1 < y_2)，AA 是椭圆的上顶点。记直线 AP,AQAP, AQ 的斜率分别为 k1,k2k_1, k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}。

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16高考真题15分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 长轴长为 44。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 (0,−2)(0, -2) 的直线 ll 与 CC 交于 A,BA, B 两点, OO 为坐标原点。若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt{2}, 求 ∣AB∣|AB|。

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18高考真题15分解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}, 左焦点为 FF, 右顶点为 AA, 点 PP 在直线 x=ax = a 上, 直线 FPFP 的斜率为 13\frac{1}{3}, △PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac{3}{2}。
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若过 PP 的直线与椭圆有唯一公共点 BB (BB 异于 AA), 求证: FPFP 平分 ∠AFB\angle AFB。

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 椭圆 EE 上的点到两焦点的距离之和为 44。
(1) 求椭圆 EE 的方程;
(2) 设 OO 为坐标原点, 点 M(x0,y0)M(x_0, y_0) (x0≠0x_0 \ne 0) 在椭圆 EE 上, 直线 x0x+2y0y−4=0x_0x + 2y_0y - 4 = 0 与直线 y=2y = 2, y=−2y = -2 分别交于点 A,BA, B。设 △OAM\triangle OAM 和 △OBM\triangle OBM 的面积分别为 S1,S2S_1, S_2, 比较 S1S2\frac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\frac{|OA|}{|OB|} 的大小。

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16高考真题15分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3) 和 P(3,32)P(3, \frac{3}{2}) 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 上两点. (1) 求 CC 的离心率; (2) 若过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB, 且 △ABP\triangle ABP 的面积为 9, 求 ll 的方程.

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0), 焦点和短轴端点构成边长为 22 的正方形。
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率; (2) 过 (0,t)(0, t) (t>2t > \sqrt{2}) 的直线与椭圆交于 A,BA, B, 直线 ACAC (C(0,1)C(0,1)) 与椭圆交于 DD。若 BDBD 斜率为 00, 求 tt。

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的右焦点为 FF, 点 M(1,32)M(1, \dfrac{3}{2}) 在 CC 上, 且 MF⊥xMF \perp x 轴. (1) 求 CC 的方程; (2) 过点 P(4,0)P(4, 0) 的直线交 CC 于 A,BA, B 两点, NN 为线段 FPFP 的中点, 直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ, 证明: AQ⊥yAQ \perp y 轴.

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的右焦点为 FF, 点 M(1,32)M\left(1, \dfrac{3}{2}\right) 在 CC 上, 且 MF⊥xMF \perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 P(4,0)P(4, 0) 的直线交 CC 于 A,BA, B 两点, NN 为线段 FPFP 的中点, 直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ, 证明: AQ⊥yAQ \perp y 轴.

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
设 OO 为坐标原点，F1,F2F_{1},F_{2} 为椭圆 C:x29+y26=1C: \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{6}=1 的两个焦点，点 PP 在 CC 上，cos⁡∠F1PF2=35\cos\angle F_{1}PF_{2}=\dfrac{3}{5}，则 ∣OP∣=|OP|=（ ）
A.
135\dfrac{\sqrt{13}}{5}
B.
302\dfrac{\sqrt{30}}{2}
C.
145\dfrac{14}{5}
D.
352\dfrac{\sqrt{35}}{2}

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18高考真题15分解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, A(−a,0)A(-a,0), 右焦点 FF, PP 在 yy 轴上, △APF\triangle APF 为正三角形。
(1) 求离心率;
(2) 过 FF 的直线交椭圆于 M,NM,N, △AMN\triangle AMN 面积最大时求直线方程。

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19高考真题14分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 53\frac{\sqrt{5}}{3}, A,CA, C 分别是 EE 的上、下顶点, B,DB, D 分别是 EE 的左、右顶点, ∣AC∣=4|AC| = 4。
(1) 求 EE 的方程；
(2) 设 PP 为第一象限内 EE 上的动点, 直线 PDPD 与直线 BCBC 交于点 MM, 直线 PAPA 与直线 y=−2y = -2 交于点 NN。求证: MN∥CDMN \parallel CD。

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1C: \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率是 53\dfrac{\sqrt{5}}{3}, 点 A(−2,0)A(-2, 0) 在 CC 上。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 (−2,3)(-2, 3) 的直线交 CC 于 P,QP, Q 两点, 直线 AP,AQAP, AQ 与 yy 轴的交点分别为 M,NM, N, 证明: 线段 MNMN 的中点为定点。

2023全国乙卷(文) · 第 21 题 · 解答题

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点, 对称轴为 xx 轴、yy 轴, 且过 A(0,−2)A(0, -2), B(32,−1)B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right) 两点。
(1) 求 EE 的方程;
(2) 设过点 P(1,−2)P(1, -2) 的直线交 EE 于 M,NM, N 两点, 过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT, 点 HH 满足 MT→=TH→\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}. 证明: 直线 HNHN 过定点。

2022全国乙卷(理) · 第 20 题 · 解答题

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴、yy 轴，且过 A(0,−2)A(0, -2)，B(32,−1)B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right) 两点。
(1) 求 EE 的方程；
(2) 设过点 P(1,−2)P(1, -2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT→=TH→\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}。证明：直线 HNHN 过定点。

2022全国乙卷(文) · 第 21 题 · 解答题

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