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14高考真题5分立体几何初步★★★★☆
球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为 ______。

2026全国二卷 · 第 14 题 · 填空题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB = 2，AA1=3AA_1 = 3，AD=4AD = 4，A1E=3ED1A_1E = 3ED_1，2C1F=FC2C_1F = FC。
(1) 求证：BA1⊥面AEFBA_1 \perp \text{面} AEF；
(2) 求面 AEFAEF 与面 ABCABC 的夹角的余弦值；
(3) 求三棱锥 A−A1EFA - A_1EF 的体积。

2026天津卷 · 第 17 题 · 解答题

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14高考真题5分立体几何初步★★★★☆
某科技兴趣小组用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体, 其中 ABCDEFABCDEF 是一个平面多边形, 平面 AFR⊥AFR \perp 平面 ABCABC, 平面 CDT⊥CDT \perp 平面 ABCABC, AB⊥BCAB \perp BC, AB∥EF∥RS∥CDAB \parallel EF \parallel RS \parallel CD, BC∥DE∥ST∥AFBC \parallel DE \parallel ST \parallel AF。若 AB=BC=8AB = BC = 8, AF=CD=4AF = CD = 4, RA=RF=TC=TD=52RA = RF = TC = TD = \frac{5}{2}, 则该多面体的体积为______。

2025北京卷 · 第 14 题 · 填空题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 44, E,FE, F 分别为 A1D1A_1D_1 和 B1C1B_1C_1 的中点, GG 在线段 CC1CC_1 上, 且 CG=3GC1CG = 3GC_1。
(1) 求证: GF⊥GF \perp 平面 EBFEBF;
(2) 求平面 EBFEBF 和平面 EBGEBG 夹角的余弦值;
(3) 求三棱锥 D−EBFD-EBF 的体积。

2025天津卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, PA⊥PA \perp 底面 ABCD,AB⊥AD,BC∥ADABCD, AB \perp AD, BC \parallel AD。
(1) 证明: 平面 PAB⊥PAB \perp 平面 PADPAD;
(2) 设 PA=AB=2,BC=2,AD=1+3PA = AB = \sqrt{2}, BC = 2, AD = 1 + \sqrt{3}, 且点 P,B,C,DP, B, C, D 均在球 OO 的球面上。
① 证明: 点 OO 在平面 ABCDABCD 内;
② 求直线 ACAC 与 POPO 所成角的余弦值。

2025全国一卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB\perp AD，BC∥ADBC\parallel AD。
（1）证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PADPAD；
（2）设 PA=AB=2PA=AB=\sqrt{2}，BC=2BC=2，AD=1+3AD=1+\sqrt{3}，且点 P,B,C,DP,B,C,D 均在球 OO 的球面上。
① 证明：点 OO 在平面 ABCDABCD 内；
② 求直线 ACAC 与 POPO 所成角的余弦值。

2025全国一卷 · 第 17 题 · 解答题

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18高考真题14分立体几何初步★★★★☆
如图, 点 PP 是圆锥的顶点, 点 OO 是底面圆心, 底面直径 AB=2AB = 2。
(1) 若直线 PAPA 与圆锥底面所成角为 π3\frac{\pi}{3}, 求圆锥的侧面积;
(2) 若 QQ 是母线 PAPA 的中点, 点 CC、DD 在底面圆周上, AC^\widehat{AC} 弧长为 π3\frac{\pi}{3}, CD∥ABCD \parallel AB, 点 TT 在线段 OCOC 上, 求证: 直线 QT∥QT \parallel 平面 PBDPBD。

2025上海卷 · 第 18 题 · 解答题

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11高考真题5分立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是边长为 44 的正方形，PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45∘\angle PCA=45^{\circ}，则 △PBC\triangle PBC 的面积为（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
323\sqrt{2}
C.
424\sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

2023全国甲卷理科 · 第 11 题 · 选择题

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12高考真题6分立体几何初步★★★★☆
下列物体中, 能被整体放入棱长为 1 m 的正方体容器内的有 （ ）
A.
直径为 0.990.99 m 的球体
B.
所有棱长均为 1.41.4 m 的四面体
C.
底面直径为 0.010.01 m, 高为 1.81.8 m 的圆柱体
D.
底面直径为 1.21.2 m, 高为 0.010.01 m 的圆柱体

2023新高考I卷 · 第 12 题 · 多选题

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15高考真题5分立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，E,FE,F 分别为 AB,C1D1AB,C_{1}D_{1} 的中点。以 EFEF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 ___ 个公共点。

2023全国甲卷理科 · 第 15 题 · 填空题

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18高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，A1C⊥A_{1}C\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，AA1=2AA_{1}=2，A1A_{1} 到平面 BCC1B1BCC_{1}B_{1} 的距离为 11。
（1）证明：A1C=ACA_{1}C=AC；
（2）已知 AA1AA_{1} 与 BB1BB_{1} 的距离为 22，求 AB1AB_{1} 与平面 BCC1B1BCC_{1}B_{1} 所成角的正弦值。

2023全国甲卷理科 · 第 18 题 · 解答题

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在三棱锥 P-ABCP\text{-}ABC 中, AB⊥BCAB \perp BC, AB=2AB = 2, BC=22BC = 2\sqrt{2}, PB=PC=6PB = PC = \sqrt{6}, BP,AP,BCBP, AP, BC 的中点分别为 D,E,OD, E, O, AD=5 DOAD = \sqrt{5}\,DO, 点 FF 在 ACAC 上, BF⊥AOBF \perp AO。
(1) 证明: EF∥EF \parallel 平面 ADOADO;
(2) 证明: 平面 ADO⊥ADO \perp 平面 BEFBEF;
(3) 求二面角 D-AO-CD\text{-}AO\text{-}C 的正弦值。

2023全国乙卷(理) · 第 19 题 · 解答题

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在三棱锥 P−ABCP-ABC 中, AB⊥BCAB \perp BC, AB=2AB = 2, BC=22BC = 2\sqrt{2}, PB=PC=6PB = PC = \sqrt{6}, BP,AP,BCBP, AP, BC 的中点分别为 D,E,OD, E, O。点 FF 在 ACAC 上, BF⊥AOBF \perp AO。
(1) 证明: EF∥EF \parallel 平面 ADOADO;
(2) 若 ∠POF=120∘\angle POF = 120^\circ, 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积。

2023全国乙卷(文) · 第 19 题 · 解答题

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