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01高考真题5分复数★☆☆☆☆
若 z=5+iz = 5 + i, 则 i(z+zˉ)=i(z + \bar{z}) = （ ）
A.
10i10i
B.
2i2i
C.
1010
D.
22

2024全国甲卷(理) · 第 1 题 · 选择题

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02高考真题5分集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={1,2,3,4,5,9}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}, B={x∣x∈A}B = \{x \mid \sqrt{x} \in A\}, 则 ∁A(A∩B)=\complement_A(A \cap B) = （ ）
A.
{1,4,9}\{1, 4, 9\}
B.
{3,4,9}\{3, 4, 9\}
C.
{1,2,3}\{1, 2, 3\}
D.
{2,3,5}\{2, 3, 5\}

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03高考真题5分不等式★★☆☆☆
若 x,yx, y 满足约束条件 {4x−3y−3⩾0x−2y−2⩽02x+6y−9⩽0\begin{cases} 4x - 3y - 3 \geqslant 0 \\ x - 2y - 2 \leqslant 0 \\ 2x + 6y - 9 \leqslant 0 \end{cases}, 则 z=x−5yz = x - 5y 的最小值为 （ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
00
C.
−52-\dfrac{5}{2}
D.
−72-\dfrac{7}{2}

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04高考真题5分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S5=S10S_5 = S_{10}, a5=1a_5 = 1, 则 a1=a_1 = （ ）
A.
72\dfrac{7}{2}
B.
73\dfrac{7}{3}
C.
−13-\dfrac{1}{3}
D.
−711-\dfrac{7}{11}

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05高考真题5分解析几何★★☆☆☆
已知双曲线的两个焦点分别为 (0,4)(0, 4), (0,−4)(0, -4), 点 (−6,4)(-6, 4) 在该双曲线上, 则该双曲线的离心率为 （ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
2\sqrt{2}

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06高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ex+2sin⁡x1+x2f(x) = \dfrac{e^x + 2\sin x}{1 + x^2}, 则曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,1)(0, 1) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （ ）
A.
16\dfrac{1}{6}
B.
13\dfrac{1}{3}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
23\dfrac{2}{3}

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07高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=−x2+(ex−e−x)sin⁡xy = -x^2 + (e^x - e^{-x})\sin x 在区间 [−2.8,2.8][-2.8, 2.8] 的图象大致为 （ ）
A.
图象在原点附近开口向上, 且在两端点处值为负
B.
图象在原点附近开口向下
C.
图象为奇函数图象
D.
图象在两端点处值为正

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08高考真题5分三角函数★★★☆☆
已知 cos⁡αcos⁡α−sin⁡α=3\dfrac{\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \sqrt{3}, 则 tan⁡(α+π4)=\tan(\alpha + \dfrac{\pi}{4}) = （ ）
A.
23+12\sqrt{3} + 1
B.
23−12\sqrt{3} - 1
C.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D.
1−31 - \sqrt{3}

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09高考真题5分平面向量★★★☆☆
设向量 a⃗=(x+1,x)\vec{a} = (x + 1, x), b⃗=(x,2)\vec{b} = (x, 2), 则 （ ）
A.
x=−3x = -3 是 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} 的必要条件
B.
x=1+3x = 1 + \sqrt{3} 是 a⃗∥b⃗\vec{a} \parallel \vec{b} 的必要条件
C.
x=0x = 0 是 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} 的充分条件
D.
x=−1+3x = -1 + \sqrt{3} 是 a⃗∥b⃗\vec{a} \parallel \vec{b} 的充分条件

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10高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
设 α,β\alpha, \beta 为两个平面, m,nm, n 为两条直线, 且 α∩β=m\alpha \cap \beta = m. 下述四个命题: ① 若 m∥nm \parallel n, 则 n∥αn \parallel \alpha 或 n∥βn \parallel \beta; ② 若 m⊥nm \perp n, 则 n⊥αn \perp \alpha 或 n⊥βn \perp \beta; ③ 若 n∥αn \parallel \alpha 且 n∥βn \parallel \beta, 则 m∥nm \parallel n; ④ 若 nn 与 α,β\alpha, \beta 所成的角相等, 则 m⊥nm \perp n. 其中所有真命题的编号是 （ ）
A.
①③
B.
②④
C.
①②③
D.
①③④

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11高考真题5分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c, 已知 B=60∘B = 60^\circ, b2=94acb^2 = \dfrac{9}{4}ac, 则 sin⁡A+sin⁡C=\sin A + \sin C = （ ）
A.
32\dfrac{3}{2}
B.
2\sqrt{2}
C.
72\dfrac{\sqrt{7}}{2}
D.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
已知 bb 是 a,ca, c 的等差中项, 直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与圆 x2+y2+4y−1=0x^2 + y^2 + 4y - 1 = 0 交于 A,BA, B 两点, 则 ∣AB∣|AB| 的最小值为 （ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
252\sqrt{5}

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13高考真题5分计数原理与组合数学★★★☆☆
(13+x)10(\dfrac{1}{3} + x)^{10} 的展开式中, 各项系数中的最大值为______.

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲、乙的上底面半径均为 r1r_1, 下底面半径均为 r2r_2, 圆台甲、乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2 - r_1), 3(r2−r1)3(r_2 - r_1), 则圆台甲与乙的体积之比为______.

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15高考真题5分指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 a>1a > 1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a} - \dfrac{1}{\log_a 4} = -\dfrac{5}{2}, 则 a=a =______.

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16高考真题5分概率与统计★★★★☆
有 66 个相同的球, 分别标有数字 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6, 从中无放回地随机取 33 次, 每次取 11 个球. 设 mm 为前两次取出的球上数字的平均值, nn 为取出的三个球上数字的平均值, 则 ∣m−n∣⩽12|m - n| \leqslant \dfrac{1}{2} 的概率为______.

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17高考真题12分概率与统计★★☆☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150150 件进行检验, 数据如下:
优级品合格品不合格品总计
甲车间26262424005050
乙车间7070282822100100
总计9696525222150150
(1) 填写如下列联表:
优级品非优级品合计
甲车间
乙车间
合计
能否有 95%95\% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有 99%99\% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p = 0.5. 设 p^\hat{p} 为升级改造后抽取的 nn 件产品的优级品率, 如果 p^>p+1.65p(1−p)n\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150150 件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (150≈12.247\sqrt{150} \approx 12.247)
附: K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},
P(K2⩾k)P(K^2 \geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
kk3.8413.8416.6356.63510.82810.828

2024全国甲卷(理) · 第 17 题 · 解答题

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18高考真题12分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 已知 4Sn=3an+44S_n = 3a_n + 4. (1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式; (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n = (-1)^{n-1} n a_n, 求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在以 A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形, EF∥ADEF \parallel AD, BC∥ADBC \parallel AD, AD=4AD = 4, AB=BC=EF=2AB = BC = EF = 2, ED=10ED = \sqrt{10}, FB=23FB = 2\sqrt{3}, MM 为 ADAD 的中点. (1) 证明: BM∥BM \parallel 平面 CDECDE; (2) 求二面角 F−BM−EF - BM - E 的正弦值.

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的右焦点为 FF, 点 M(1,32)M(1, \dfrac{3}{2}) 在 CC 上, 且 MF⊥xMF \perp x 轴. (1) 求 CC 的方程; (2) 过点 P(4,0)P(4, 0) 的直线交 CC 于 A,BA, B 两点, NN 为线段 FPFP 的中点, 直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ, 证明: AQ⊥yAQ \perp y 轴.

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x) = (1 - ax)\ln(1 + x) - x. (1) 若 a=−2a = -2, 求 f(x)f(x) 的极值; (2) 当 x⩾0x \geqslant 0 时, f(x)⩾0f(x) \geqslant 0, 求 aa 的取值范围.

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22高考真题10分解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中, 以坐标原点为极点, xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho = \rho\cos\theta + 1. (1) 写出 CC 的直角坐标方程; (2) 设直线 l:{x=ty=t+al: \begin{cases} x = t \\ y = t + a \end{cases} (tt 为参数), 若 CC 与 ll 相交于 A,BA, B 两点, 且 ∣AB∣=2|AB| = 2, 求 aa.

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23高考真题10分不等式★★★★☆
已知实数 a,ba, b 满足 a+b⩾3a + b \geqslant 3. (1) 证明: 2a2+2b2>a+b2a^2 + 2b^2 > a + b; (2) 证明: ∣a−2b2∣+∣b−2a2∣⩾6|a - 2b^2| + |b - 2a^2| \geqslant 6.

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