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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域是 (−1,+∞)(-1, +\infty), f(0)=0f(0) = 0, 导函数 f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}。设 l1l_1 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(a,f(a))A(a, f(a)) (a≠0a \ne 0) 处的切线。
(1) 求 f′(x)f'(x) 的最大值;
(2) 当 −1<a<0-1 < a < 0 时, 证明: 除切点 AA 外, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在直线 l1l_1 的上方;
(3) 设过点 AA 的直线 l2l_2 与直线 l1l_1 垂直, l1,l2l_1, l_2 与 xx 轴交点的横坐标分别是 x1,x2x_1, x_2。若 a>0a > 0, 求 2a−x2−x1x2−x1\frac{2a - x_2 - x_1}{x_2 - x_1} 的取值范围。

2025北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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10高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x),1⩽x⩽2,0⩽t⩽1}M = \{(x, y) \mid y = x + t(x^2 - x), 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant t \leqslant 1\} 是平面直角坐标系中的点集。设 dd 是 MM 中两点间的距离的最大值, SS 是 MM 表示的图形的面积, 则 ()(\quad)
A.
d=3,S<1d = 3, S < 1
B.
d=3,S>1d = 3, S > 1
C.
d=10,S<1d = \sqrt{10}, S < 1
D.
d=10,S>1d = \sqrt{10}, S > 1

2024北京卷 · 第 10 题 · 选择题

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20高考真题15分导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x) = x + k \ln(1 + x) (k≠0k \neq 0), ll 是曲线在 (t,f(t))(t, f(t)) 处的切线。
(1) k=−1k = -1 时, 求单调区间; (2) 证明: ll 不经过点 (0,0)(0, 0); (3) k=1k = 1 时, 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO} = 15S_{\triangle ABO} 是否成立? 有几个点 AA?

2024北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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20高考真题14分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x−x3eax+bf(x) = x - x^3 e^{ax+b}, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1y = -x + 1。
(1) 求 a,ba, b 的值；
(2) 设函数 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 求 g(x)g(x) 的单调区间；
(3) 求 f(x)f(x) 的极值点个数。

2023北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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20高考真题14分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x) = e^x \ln(1 + x)。 (1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 设 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0, +\infty) 上的单调性; (3) 证明: 对任意的 s,t∈(0,+∞)s, t \in (0, +\infty), 有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s + t) > f(s) + f(t)。

2022北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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