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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
f(x)=(1x+12)ln⁡(x+1)f(x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2})\ln(x+1), 曲线在 (1,f(1))(1,f(1)) 切线为 ll。
(1) 求 ll 方程;
(2) 证 f(x)f(x) 在 (−1,0)(-1,0) 上唯一极大值点;
(3) 若 f(x)≤kxf(x) \le kx 在 (0,+∞)(0,+\infty) 恒成立, 求 kk 范围。

2023天津卷 · 第 20 题 · 解答题

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20高考真题14分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x−x3eax+bf(x) = x - x^3 e^{ax+b}, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1y = -x + 1。
(1) 求 a,ba, b 的值；
(2) 设函数 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 求 g(x)g(x) 的单调区间；
(3) 求 f(x)f(x) 的极值点个数。

2023北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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21高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x) = \left(\dfrac{1}{x} + a\right)\ln(1 + x)。
(1) 当 a=−1a = -1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 是否存在 a,ba, b, 使得曲线 y=f(1x)y = f\left(\dfrac{1}{x}\right) 关于直线 x=bx = b 对称? 若存在, 求 a,ba, b; 若不存在, 说明理由;
(3) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 存在极值, 求 aa 的取值范围。

2023全国乙卷(理) · 第 21 题 · 解答题

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)。
（1）当 a=8a=8 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性；
（2）若 f(x)<sin⁡2xf(x)<\sin 2x，求 aa 的取值范围。

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21高考真题18分导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x.曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (a1,f(a1))(a_1, f(a_1)) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0, a_2), 且 a2>0a_2 > 0; 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (a2,f(a2))(a_2, f(a_2)) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0, a_3); 以此类推, 直至 am⩽0a_m \leqslant 0 时停止操作, 得到数列 {an}\{a_n\}, 其中 mm、nn 为正整数, 1<n⩽m1 < n \leqslant m.
(1) 证明: 当 n⩾2n \geqslant 2 时, an=ln⁡an−1−1a_n = \ln a_{n-1} - 1;
(2) 当 n⩾2n \geqslant 2 时, 试比较 ana_n 和 an−1−2a_{n-1} - 2 的大小, 并说明理由;
(3) 是否存在不小于 33 的正整数 kk, 使得 a1,a2,a3,⋯ ,aka_1, a_2, a_3, \cdots, a_k 成等差数列? 若存在, 求出 kk 的所有取值; 若不存在, 请说明理由.

2023上海卷 · 第 21 题 · 解答题

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22高考真题15分导数及其应用★★★★★
(1) 证明 0<x<10 < x < 1 时 x−x2<sin⁡x<xx - x^2 < \sin x < x;
(2) f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x) = \cos ax - \ln(1 - x^2), 若 x=0x = 0 是 f(x)f(x) 的极大值点, 求 aa 范围。

2023新高考II卷 · 第 22 题 · 解答题

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11高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1f(x) = \cos x + (x + 1)\sin x + 1 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 的最小值、最大值分别为（ ）
A.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
B.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
C.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2} + 2
D.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2} + 2

2022全国乙卷(文) · 第 11 题 · 选择题

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16高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 x=x1x = x_1 和 x=x2x = x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x) = 2ax - e^{x^2} (a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1) 的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1 < x_2, 则 aa 的取值范围是 ______.

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20高考真题12分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x) = ax - \dfrac{1}{x} - (a + 1)\ln x。
(1) 当 a=0a = 0 时，求 f(x)f(x) 的最大值；
(2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围。

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20高考真题14分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x) = e^x \ln(1 + x)。 (1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 设 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0, +\infty) 上的单调性; (3) 证明: 对任意的 s,t∈(0,+∞)s, t \in (0, +\infty), 有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s + t) > f(s) + f(t)。

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