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05高考真题5分集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} 是向量, 则“(a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)=0(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0”是“a⃗=−b⃗\vec{a} = -\vec{b} 或 a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b}”的 ()(\quad)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2024北京卷 · 第 5 题 · 选择题

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06高考真题5分三角函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωxf(x) = \sin \omega x (ω>0\omega > 0)。已知 f(x1)=−1,f(x2)=1f(x_1) = -1, f(x_2) = 1, 且 ∣x1−x2∣|x_1 - x_2| 的最小值为 π2\dfrac{\pi}{2}, 则 ω=()\omega = (\quad)
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2024北京卷 · 第 6 题 · 选择题

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07高考真题5分指数函数与对数函数★★☆☆☆
生物丰富度指数 d=S−1ln⁡Nd = \dfrac{S - 1}{\ln N} 是河流水质的一个评价指标, 其中 S,NS, N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 dd 越大, 水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数 SS 没有变化, 生物个体总数由 N1N_1 变为 N2N_2, 生物丰富度指数由 2.12.1 提高到 3.153.15, 则 ()(\quad)
A.
3N2=2N13N_2 = 2N_1
B.
2N2=3N12N_2 = 3N_1
C.
N22=N13N_2^2 = N_1^3
D.
N23=N12N_2^3 = N_1^2

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08高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, 底面 ABCDABCD 是边长为 44 的正方形, PA=PB=4,PC=PD=22PA = PB = 4, PC = PD = 2\sqrt{2}。该棱锥的高为 ()(\quad)
gaokaomath-2024-G-beijing-08-fig-01
A.
11
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

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09高考真题5分指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 (x1,y1),(x2,y2)(x_1, y_1), (x_2, y_2) 是函数 y=2xy = 2^x 的图象上两个不同的点, 则 ()(\quad)
A.
log⁡2y1+y22<x1+x22\log_2 \dfrac{y_1 + y_2}{2} < \dfrac{x_1 + x_2}{2}
B.
log⁡2y1+y22>x1+x22\log_2 \dfrac{y_1 + y_2}{2} > \dfrac{x_1 + x_2}{2}
C.
log⁡2y1+y22<x1+x2\log_2 \dfrac{y_1 + y_2}{2} < x_1 + x_2
D.
log⁡2y1+y22>x1+x2\log_2 \dfrac{y_1 + y_2}{2} > x_1 + x_2

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10高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x),1⩽x⩽2,0⩽t⩽1}M = \{(x, y) \mid y = x + t(x^2 - x), 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant t \leqslant 1\} 是平面直角坐标系中的点集。设 dd 是 MM 中两点间的距离的最大值, SS 是 MM 表示的图形的面积, 则 ()(\quad)
A.
d=3,S<1d = 3, S < 1
B.
d=3,S>1d = 3, S > 1
C.
d=10,S<1d = \sqrt{10}, S < 1
D.
d=10,S>1d = \sqrt{10}, S > 1

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11高考真题5分解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=16xy^2 = 16x 的焦点坐标为 ______。

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12高考真题5分三角函数★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中, 角 α\alpha 与角 β\beta 均以 OxOx 为始边, 它们的终边关于原点对称。若 2α∈[π6,π3]2\alpha \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}], 则 cos⁡β\cos \beta 的最大值为 ______。

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13高考真题5分解析几何★★★☆☆
若直线 y=k(x−3)y = k(x - 3) 与双曲线 x24−y2=1\frac{x^2}{4} - y^2 = 1 只有一个公共点, 则 kk 的一个取值为 ______。

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 1010 的等比数列, 底面直径依次为 65 mm,325 mm,325 mm65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}, 且斛量器的高为 230 mm230\text{ mm}, 则斗量器的高为 ______ mm\text{mm}, 升量器的高为 ______ mm\text{mm}。(不计量器的厚度)

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15高考真题5分数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列, 且都不是常数列。记集合 M={k∣ak=bk;k∈N∗}M = \{k \mid a_k = b_k; k \in \mathbb{N}^*\}, 给出下列四个结论: ① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列, 则 MM 中最多有 11 个元素; ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列, 则 MM 中最多有 22 个元素; ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列, {bn}\{b_n\} 为等比数列, 则 MM 中最多有 33 个元素; ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列, {bn}\{b_n\} 为递减数列, 则 MM 中最多有 11 个元素。 其中正确结论的序号是 ______。

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, ∠A\angle A 为钝角, a=7,sin⁡2B=37bcos⁡Ba = 7, \sin 2B = \dfrac{\sqrt{3}}{7} b \cos B。
(1) 求 ∠A\angle A;
(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC\triangle ABC 存在, 求 △ABC\triangle ABC 的面积。 条件①: b=7b = 7; 条件②: cos⁡B=1314\cos B = \dfrac{13}{14}; 条件③: csin⁡A=532c \sin A = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}。

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17高考真题15分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, BC∥AD,AB=BC=1,AD=3BC \parallel AD, AB = BC = 1, AD = 3。点 EE 在 ADAD 上, 且 PE⊥AD,PE=DE=2PE \perp AD, PE = DE = 2。
(1) 若 FF 为线段 PEPE 的中点, 求证: BF∥BF \parallel 平面 PCDPCD;
(2) 若 AB⊥AB \perp 平面 PADPAD, 求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 夹角的余弦值。
gaokaomath-2024-G-beijing-17-fig-01

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某保险公司随机抽取 10001000 份保单, 索赔情况如下表:
索赔次数01234
保单份数800100603010
保费 0.40.4 万元; 前三次索赔每次赔偿 0.80.8 万元; 第四次赔偿 0.60.6 万元。
(1) 估计一份保单索赔次数不少于 22 的概率; (2) ① 记 XX 为一份保单的毛利润, 估计 EXEX; ② 比较保费调整后新期望值与 EXEX 的大小。

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0), 焦点和短轴端点构成边长为 22 的正方形。
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率; (2) 过 (0,t)(0, t) (t>2t > \sqrt{2}) 的直线与椭圆交于 A,BA, B, 直线 ACAC (C(0,1)C(0,1)) 与椭圆交于 DD。若 BDBD 斜率为 00, 求 tt。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x) = x + k \ln(1 + x) (k≠0k \neq 0), ll 是曲线在 (t,f(t))(t, f(t)) 处的切线。
(1) k=−1k = -1 时, 求单调区间; (2) 证明: ll 不经过点 (0,0)(0, 0); (3) k=1k = 1 时, 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO} = 15S_{\triangle ABO} 是否成立? 有几个点 AA?

2024北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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21高考真题15分数列★★★★★
集合 MM 包含特定四元组。对数列 AA 进行变换 Ω(A)\Omega(A)。
(1) 计算给定 AA 和 Ω\Omega 的结果; (2) 判断是否存在 Ω\Omega 使得 AA 变为特定增量, 说明理由; (3) 证明 Ω(A)\Omega(A) 各项相等的充要条件。

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01高考真题4分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣x+2≥0}M = \{x \mid x + 2 \ge 0\}, N={x∣x−1<0}N = \{x \mid x - 1 < 0\}, 则 M∩N=M \cap N = （ ）
A.
{x∣−2≤x<1}\{x \mid -2 \le x < 1\}
B.
{x∣−2<x≤1}\{x \mid -2 < x \le 1\}
C.
{x∣x≥−2}\{x \mid x \ge -2\}
D.
{x∣x<1}\{x \mid x < 1\}

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02高考真题4分复数★☆☆☆☆
在复平面内, 复数 zz 对应的点的坐标是 (−1,3)(-1, \sqrt{3}), 则 zz 的共轭复数 zˉ=\bar{z} = （ ）
A.
1+3i1 + \sqrt{3}i
B.
1−3i1 - \sqrt{3}i
C.
−1+3i-1 + \sqrt{3}i
D.
−1−3i-1 - \sqrt{3}i

2023北京卷 · 第 2 题 · 选择题

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03高考真题4分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} 满足 a⃗+b⃗=(2,3)\vec{a} + \vec{b} = (2, 3), a⃗−b⃗=(−2,1)\vec{a} - \vec{b} = (-2, 1), 则 ∣a⃗∣2−∣b⃗∣2=|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = （ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
00
D.
11

2023北京卷 · 第 3 题 · 选择题

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04高考真题4分函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中, 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递增的是 （ ）
A.
f(x)=−ln⁡xf(x) = -\ln x
B.
f(x)=12xf(x) = \frac{1}{2^x}
C.
f(x)=−1xf(x) = -\frac{1}{x}
D.
f(x)=3∣x−1∣f(x) = 3^{|x-1|}

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05高考真题4分计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x−1x)5(2x - \frac{1}{x})^5 的展开式中, xx 的系数为 （ ）
A.
−40-40
B.
4040
C.
−80-80
D.
8080

2023北京卷 · 第 5 题 · 选择题

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06高考真题4分解析几何★★☆☆☆
已知抛物线 C:y2=8xC: y^2 = 8x 的焦点为 FF, 点 MM 在 CC 上。若 MM 到直线 x=−3x = -3 的距离为 55, 则 ∣MF∣=|MF| = （ ）
A.
77
B.
66
C.
55
D.
44

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07高考真题4分三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, (a+c)(sin⁡A−sin⁡C)=b(sin⁡A−sin⁡B)(a+c)(\sin A - \sin C) = b(\sin A - \sin B), 则 ∠C=\angle C = （ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2023北京卷 · 第 7 题 · 选择题

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08高考真题4分集合与逻辑基础★★☆☆☆
若 xy≠0xy \neq 0, 则 "x+y=0x + y = 0" 是 "yx+xy=−2\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = -2" 的 （ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2023北京卷 · 第 8 题 · 选择题

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