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15高考真题13分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点。
（1）证明：DE∥DE\parallel 平面 BCC1B1BCC_1B_1；
（2）设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离。

2026全国一卷 · 第 15 题 · 解答题

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16高考真题15分立体几何初步★★★☆☆
三棱锥 A−BCDA-BCD 中，EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE \perp CE，AE⊥DEAE \perp DE，CD⊥ADCD \perp AD。
（1）证明：CD⊥ABCD \perp AB；
（2）若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值。

2026全国二卷 · 第 16 题 · 解答题

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07高考真题4分立体几何初步★★★☆☆
在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中, 若 AC=42AC = 4\sqrt{2}, BD1=9BD_1 = 9, 则其体积为______。

2025上海卷 · 第 7 题 · 填空题

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09高考真题6分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中, DD 为 BCBC 的中点, 则 （ ）
A.
AD⊥A1CAD \perp A_1C
B.
B1C1⊥B_1C_1 \perp 平面 AA1DAA_1D
C.
AD∥A1B1AD \parallel A_1B_1
D.
CC1∥CC_1 \parallel 平面 AA1DAA_1D

2025全国一卷 · 第 9 题 · 多选题

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09高考真题6分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，DD 为 BCBC 的中点，则（ ）
A.
AD⊥A1CAD\perp A_1C
B.
B1C1⊥B_1C_1\perp 平面 AA1DAA_1D
C.
AD∥A1B1AD\parallel A_1B_1
D.
CC1∥CC_1\parallel 平面 AA1DAA_1D

2025全国一卷 · 第 9 题 · 多选题

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
一个底面半径为 44 cm, 高为 99 cm 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计) 内有两个半径相等的铁球, 则铁球半径的最大值为______cm。

2025全国二卷 · 第 14 题 · 填空题

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05高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知圆柱和圆锥的底面半径相等, 侧面积相等, 且它们的高均为 3\sqrt{3}, 则圆锥的体积为 ( )
A.
23π2\sqrt{3}\pi
B.
33π3\sqrt{3}\pi
C.
63π6\sqrt{3}\pi
D.
93π9\sqrt{3}\pi

2024新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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07高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 的体积为 523\frac{52}{3}, AB=6AB = 6, A1B1=2A_1B_1 = 2, 则 A1AA_1A 与平面 ABCABC 所成角的正切值为 ( )
A.
12\frac{1}{2}
B.
1
C.
2
D.
3

2024新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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08高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, 底面 ABCDABCD 是边长为 44 的正方形, PA=PB=4,PC=PD=22PA = PB = 4, PC = PD = 2\sqrt{2}。该棱锥的高为 ()(\quad)
gaokaomath-2024-G-beijing-08-fig-01
A.
11
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2024北京卷 · 第 8 题 · 选择题

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10高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
设 α,β\alpha, \beta 为两个平面, m,nm, n 为两条直线, 且 α∩β=m\alpha \cap \beta = m. 下述四个命题: ① 若 m∥nm \parallel n, 则 n∥αn \parallel \alpha 或 n∥βn \parallel \beta; ② 若 m⊥nm \perp n, 则 n⊥αn \perp \alpha 或 n⊥βn \perp \beta; ③ 若 n∥αn \parallel \alpha 且 n∥βn \parallel \beta, 则 m∥nm \parallel n; ④ 若 nn 与 α,β\alpha, \beta 所成的角相等, 则 m⊥nm \perp n. 其中所有真命题的编号是 （ ）
A.
①③
B.
②④
C.
①②③
D.
①③④

2024全国甲卷(理) · 第 10 题 · 选择题

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11高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
设 α,β\alpha, \beta 为两个平面, m,nm, n 为两条直线, 且 α∩β=m\alpha \cap \beta = m. 下述四个命题: ① 若 m∥nm \parallel n, 则 n∥αn \parallel \alpha 或 n∥βn \parallel \beta; ② 若 m⊥nm \perp n, 则 n⊥αn \perp \alpha 或 n⊥βn \perp \beta; ③ 若 n∥αn \parallel \alpha 且 n∥βn \parallel \beta, 则 m∥nm \parallel n; ④ 若 nn 与 α,β\alpha, \beta 所成的角相等, 则 m⊥nm \perp n. 其中所有真命题的编号是 （ ）
A.
①③
B.
②④
C.
①②③
D.
①③④

2024全国甲卷(文) · 第 11 题 · 选择题

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲、乙的上底面半径均为 r1r_1, 下底面半径均为 r2r_2, 圆台甲、乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2 - r_1), 3(r2−r1)3(r_2 - r_1), 则圆台甲与乙的体积之比为______.

2024全国甲卷(文) · 第 14 题 · 填空题

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲、乙的上底面半径均为 r1r_1, 下底面半径均为 r2r_2, 圆台甲、乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2 - r_1), 3(r2−r1)3(r_2 - r_1), 则圆台甲与乙的体积之比为______.

2024全国甲卷(理) · 第 14 题 · 填空题

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 1010 的等比数列, 底面直径依次为 65 mm,325 mm,325 mm65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}, 且斛量器的高为 230 mm230\text{ mm}, 则斗量器的高为 ______ mm\text{mm}, 升量器的高为 ______ mm\text{mm}。(不计量器的厚度)

2024北京卷 · 第 14 题 · 填空题

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17高考真题15分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, BC∥AD,AB=BC=1,AD=3BC \parallel AD, AB = BC = 1, AD = 3。点 EE 在 ADAD 上, 且 PE⊥AD,PE=DE=2PE \perp AD, PE = DE = 2。
(1) 若 FF 为线段 PEPE 的中点, 求证: BF∥BF \parallel 平面 PCDPCD;
(2) 若 AB⊥AB \perp 平面 PADPAD, 求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 夹角的余弦值。
gaokaomath-2024-G-beijing-17-fig-01

2024北京卷 · 第 17 题 · 解答题

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08高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥 P-OP\text{-}O 的底面半径为 3\sqrt{3}, OO 为底面圆心, PAPA, PBPB 为圆锥的母线, ∠AOB=120°\angle AOB = 120°, 若 △PAB\triangle PAB 的面积等于 934\dfrac{9\sqrt{3}}{4}, 则该圆锥的体积为 （ ）
A.
π\pi
B.
6π\sqrt{6}\pi
C.
3π3\pi
D.
36π3\sqrt{6}\pi

2023全国乙卷(理) · 第 8 题 · 选择题

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09高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 为等腰直角三角形, ABAB 为斜边, △ABD\triangle ABD 为等边三角形, 若二面角 C-AB-DC\text{-}AB\text{-}D 为 150°150°, 则直线 CDCD 与平面 ABCABC 所成角的正切值为 （ ）
A.
15\dfrac{1}{5}
B.
25\dfrac{\sqrt{2}}{5}
C.
35\dfrac{\sqrt{3}}{5}
D.
25\dfrac{2}{5}

2023全国乙卷(理) · 第 9 题 · 选择题

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09高考真题4分立体几何初步★★★☆☆
坡屋顶是我国传统建筑造型之一, 蕴含着丰富的数学元素。安装灯带可以勾勒出建筑轮廓, 展现造型之美。如图, 某坡屋顶可视为一个五面体, 其中两个面是全等的等腰梯形, 两个面是全等的等腰三角形。若 AB=25 mAB = 25\text{ m}, BC=10 mBC = 10\text{ m}, 且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 ABCDABCD 的夹角的正切值均为 145\frac{\sqrt{14}}{5}, 则该五面体的所有棱长之和为 （ ）
A.
102 m102\text{ m}
B.
112 m112\text{ m}
C.
117 m117\text{ m}
D.
125 m125\text{ m}

2023北京卷 · 第 9 题 · 选择题

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09高考真题6分立体几何初步★★★☆☆
圆锥顶点 PP, 底面圆心 OO, ABAB 为直径, ∠APB=120∘\angle APB = 120^\circ, PA=2PA = 2, CC 在底面圆周上, 二面角 P−AC−OP-AC-O 为 45∘45^\circ, 则 （ ）
A.
圆锥体积为 π\pi
B.
圆锥侧面积为 43π4\sqrt{3}\pi
C.
AC=22AC = 2\sqrt{2}
D.
△PAC\triangle PAC 面积为 3\sqrt{3}

2023新高考II卷 · 第 9 题 · 多选题

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11高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1, E,FE,F 为 AB,BCAB,BC 中点, 则 （ ）
A.
B1E⊥B_1E \perp 平面 A1C1FA_1C_1F
B.
B1E∥B_1E \parallel 平面 A1C1FA_1C_1F
C.
B1E⊂B_1E \subset 平面 A1C1FA_1C_1F
D.
B1EB_1E 与平面 A1C1FA_1C_1F 相交但不垂直

2023全国甲卷(文) · 第 11 题 · 选择题

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
底面边长 4 的正四棱锥被平行于底面的平面截去一个底面边长 2、高 3 的正四棱锥, 所得棱台体积______。

2023新高考II卷 · 第 14 题 · 填空题

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
正四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1, AB=2AB=2, A1B1=1A_1B_1=1, AA1=2AA_1=\sqrt{2}, 体积为______。

2023新高考I卷 · 第 14 题 · 填空题

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15高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中 AB=1AB=1, EE 为 A1D1A_1D_1 中点, 点 BB 到平面 ACEACE 距离______。

2023全国甲卷(文) · 第 15 题 · 填空题

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16高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知点 S,A,B,CS, A, B, C 均在半径为 22 的球面上, △ABC\triangle ABC 是边长为 33 的等边三角形, SA⊥SA \perp 平面 ABCABC, 则 SA=SA =______。

2023全国乙卷(文) · 第 16 题 · 填空题

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16高考真题14分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在三棱锥 P−ABCP-ABC 中, PA⊥PA \perp 平面 ABCABC, PA=AB=BC=1PA = AB = BC = 1, PC=3PC = \sqrt{3}。
(1) 求证: BC⊥BC \perp 平面 PABPAB；
(2) 求二面角 A−PC−BA-PC-B 的大小。

2023北京卷 · 第 16 题 · 解答题

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