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18高考真题14分概率与统计★★★★☆
为研究某种农产品价格变化的规律, 收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据, 如下表所示。在描述价格变化时, 用“+”表示“上涨”, 即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”, 即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”, 即当天价格与前一天价格相同。
时段：第 1 天到第 20 天，价格变化：－ + + 0 － － － + + 0 + 0 － － + － + 0 0 +
时段：第 21 天到第 40 天，价格变化：0 + + 0 － － － + + 0 + 0 + － － － + 0 － +
用频率估计概率。
(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的。在未来的日子里任取 4 天, 试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；
(3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大。（结论不需要证明）

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18高考真题17分数列★★★★☆
{an}\{a_n\} 等差数列, bn={an−6,n奇数2an,n偶数b_n = \begin{cases} a_n - 6, & n\text{奇数} \\ 2a_n, & n\text{偶数} \end{cases}, Sn,TnS_n,T_n 为前 nn 项和, S4=32S_4 = 32, T3=16T_3 = 16。
(1) 求 {an}\{a_n\} 通项;
(2) 证明: n>5n > 5 时 Tn>SnT_n > S_n。

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18高考真题17分立体几何初步★★★★☆
如图, 直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1, AB=2AB=2, AA1=4AA_1=4。点 A2,B2,C2,D2A_2,B_2,C_2,D_2 分别在棱 AA1,BB1,CC1,DD1AA_1,BB_1,CC_1,DD_1 上, 且 AA2=1AA_2=1, BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2, CC2=3CC_2=3。
(1) 证明: B2C2∥A2D2B_2C_2 \parallel A_2D_2;
(2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上, 当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时, 求 B2PB_2P 的长。

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19高考真题12分概率与统计★★★★☆
一项试验研究臭氧对小白鼠体重影响。40 只小白鼠随机分实验组和对照组。数据见原题表格。
(1) 求对照组体重增加量的均值和方差;
(2) 检验两组是否有显著差异。

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在三棱锥 P-ABCP\text{-}ABC 中, AB⊥BCAB \perp BC, AB=2AB = 2, BC=22BC = 2\sqrt{2}, PB=PC=6PB = PC = \sqrt{6}, BP,AP,BCBP, AP, BC 的中点分别为 D,E,OD, E, O, AD=5 DOAD = \sqrt{5}\,DO, 点 FF 在 ACAC 上, BF⊥AOBF \perp AO。
(1) 证明: EF∥EF \parallel 平面 ADOADO;
(2) 证明: 平面 ADO⊥ADO \perp 平面 BEFBEF;
(3) 求二面角 D-AO-CD\text{-}AO\text{-}C 的正弦值。

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在三棱锥 P−ABCP-ABC 中, AB⊥BCAB \perp BC, AB=2AB = 2, BC=22BC = 2\sqrt{2}, PB=PC=6PB = PC = \sqrt{6}, BP,AP,BCBP, AP, BC 的中点分别为 D,E,OD, E, O。点 FF 在 ACAC 上, BF⊥AOBF \perp AO。
(1) 证明: EF∥EF \parallel 平面 ADOADO;
(2) 若 ∠POF=120∘\angle POF = 120^\circ, 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积。

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19高考真题15分数列★★★★☆
等差数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 SnS_n, a1=1a_1=1, 公差 d>0d>0, a2,a5,a14a_2,a_5,a_{14} 成等比。
(1) 求 {an}\{a_n\} 通项及 SnS_n;
(2) 证 ∑k=1n1Sk<32\sum_{k=1}^n \frac{1}{S_k} < \frac{3}{2}。

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19高考真题14分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 53\frac{\sqrt{5}}{3}, A,CA, C 分别是 EE 的上、下顶点, B,DB, D 分别是 EE 的左、右顶点, ∣AC∣=4|AC| = 4。
(1) 求 EE 的方程；
(2) 设 PP 为第一象限内 EE 上的动点, 直线 PDPD 与直线 BCBC 交于点 MM, 直线 PAPA 与直线 y=−2y = -2 交于点 NN。求证: MN∥CDMN \parallel CD。

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19高考真题17分概率与统计★★★★☆
疾病检测: 患病者/未患病者指标频率分布直方图, 临界值 cc, 漏诊率 p(c)p(c), 误诊率 q(c)q(c)。
(1) p(c)=0.5%p(c) = 0.5\% 时求 cc 和 q(c)q(c);
(2) f(c)=p(c)+q(c)f(c) = p(c) + q(c), c∈[95,105]c \in [95, 105], 求 f(c)f(c) 解析式及最小值。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=a(ex+a)−xf(x) = a(e^x + a) - x。
(1) 讨论单调性;
(2) 当 a>0a > 0 时, 证明 f(x)>2ln⁡a+32f(x) > 2\ln a + \frac{3}{2}。

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2px(p>0)C:y^{2}=2px(p>0) 交于 A,BA,B 两点，∣AB∣=415|AB|=4\sqrt{15}。
（1）求 pp；
（2）设 FF 为 CC 的焦点，M,NM,N 为 CC 上两点，且 FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值。

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20高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x) = ax - \frac{\sin x}{\cos^3 x}, x∈(0,π2)x \in (0, \frac{\pi}{2})。
(1) 当 a=8a=8 时, 讨论 f(x)f(x) 的单调性;
(2) 若 f(x)<sin⁡2xf(x) < \sin 2x 恒成立, 求 aa 的取值范围。

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20高考真题14分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x−x3eax+bf(x) = x - x^3 e^{ax+b}, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1y = -x + 1。
(1) 求 a,ba, b 的值；
(2) 设函数 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 求 g(x)g(x) 的单调区间；
(3) 求 f(x)f(x) 的极值点个数。

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20高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 三棱锥 A−BCDA-BCD, DA=DB=DCDA=DB=DC, BD⊥CDBD \perp CD, ∠ADB=∠ADC=60∘\angle ADB = \angle ADC = 60^\circ, EE 为 BCBC 中点。
(1) 证明 BC⊥DABC \perp DA;
(2) FF 满足 EF→=DA→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DA}, 求二面角 D−AB−FD-AB-F 的正弦值。

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20高考真题15分数列★★★★☆
等差数列 {an}\{a_n\} 公差 d>1d>1, bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}, Sn,TnS_n,T_n 分别为 {an},{bn}\{a_n\},\{b_n\} 前 nn 项和。
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3, S3+T3=21S_3+T_3=21, 求 {an}\{a_n\} 通项;
(2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列, S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99, 求 dd。

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21高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x) = \left(\dfrac{1}{x} + a\right)\ln(1 + x)。
(1) 当 a=−1a = -1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 是否存在 a,ba, b, 使得曲线 y=f(1x)y = f\left(\dfrac{1}{x}\right) 关于直线 x=bx = b 对称? 若存在, 求 a,ba, b; 若不存在, 说明理由;
(3) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 存在极值, 求 aa 的取值范围。

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1C: \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率是 53\dfrac{\sqrt{5}}{3}, 点 A(−2,0)A(-2, 0) 在 CC 上。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 (−2,3)(-2, 3) 的直线交 CC 于 P,QP, Q 两点, 直线 AP,AQAP, AQ 与 yy 轴的交点分别为 M,NM, N, 证明: 线段 MNMN 的中点为定点。

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