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17概率与统计★★★★☆
现从全校学生中随机抽取 200 人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：
以频率估计概率，完成下列问题：
(1) 求数学成绩低于 120 分的概率； (2) 从学校随机抽取 4 人，求 2 人不低于 120 且 2 人小于 94 的概率； (3) 每组数据取左端，中间，右端，比较 s左2s_{\text{左}}^2，s中2s_{\text{中}}^2，s右2s_{\text{右}}^2 的大小关系.

2026 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，AB=AC=2AB=AC=2，BB1=2BB_1=\sqrt{2}，EE，DD 分别为 A1B1A_1B_1，ACAC 的中点.
(1) 证明：DE//平面 BB1C1CDE // \text{平面}\, BB_1C_1C； (2) 点 PP 在平面 A1B1C1A_1B_1C_1 内，且 EP//B1C1EP//B_1C_1，再从条件\circled1\circled{1}，条件\circled2\circled{2}，条件\circled3\circled{3}这三个条件中选择一个作为已知，使得 PP 唯一确定，求平面 PADPAD 与平面 PDEPDE 的夹角的余弦值.
条件\circled1\circled{1}：PA=PDPA=PD；
条件\circled2\circled{2}：PA⊥BCPA\perp BC；
条件\circled3\circled{3}：BB1//平面 PDEBB_1 // \text{平面}\, PDE.

2026 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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14立体几何初步★★★★☆
某科技兴趣小组通过 3D 打印机打印的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 ABCDEFABCDEF 是一个平行六边形，平面 ARF⊥ARF\perp 平面 ABCABC，平面 TCD⊥TCD\perp 平面 ABCABC，AB⊥BCAB\perp BC，AB∥RS∥EF∥CDAB\parallel RS\parallel EF\parallel CD，AF∥ST∥BC∥EDAF\parallel ST\parallel BC\parallel ED. 若 AB=BC=8AB=BC=8，AF=CD=4AF=CD=4，AR=RF=TC=TD=52AR=RF=TC=TD=\dfrac52，则该多面体的体积为（ ）
A.
60
B.
90
C.
120
D.
150

2025 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
关于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x)，以下说法正确的有（ ）
A.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递增的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
B.
存在在 R\mathbf{R} 上单调递减的函数 f(x)f(x)，使 f(x)+f(2x)=−xf(x)+f(2x)=-x 恒成立
C.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)+f(−x)=cos⁡xf(x)+f(-x)=\cos x
D.
存在且有无穷多个函数 f(x)f(x)，满足 f(x)−f(−x)=cos⁡xf(x)-f(-x)=\cos x

2025 · 北京 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，cos⁡A=−13\cos A=-\dfrac13，asin⁡C=42a\sin C=4\sqrt2.
(1) 求 cc； (2) 在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC\triangle ABC 存在，求 BCBC 的高.
\circled1 a=6\text{\circled{1}} \, a=6，\circled2 bsin⁡C=1023\text{\circled{2}} \, b\sin C= \frac{10\sqrt2}{3}，\circled3 S△ABC=102\text{\circled{3}} \, S_{\triangle ABC}=10\sqrt2

2025 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），其离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，椭圆上一点到两焦点距离之和为 44.
(1) 求椭圆方程； (2) 设 O=(0,0)O=(0,0)，M(x0,y0)M(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）为椭圆上一点，直线 x0x+2y0y−4=0x_0x+2y_0y-4=0 与直线 y=2y=2，y=−2y=-2 交于 AA，BB. S1S_1，S2S_2 分别为 △OAM\triangle OAM 与 △OBM\triangle OBM 的面积，比较 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\dfrac{|OA|}{|OB|} 的大小.

2025 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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10集合与逻辑基础★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x), 1≤x≤2, 0≤t≤1}M=\left\{ (x,y)\mid y=x+t\left( x^2-x \right),\,1\le x\le 2,\,0\le t\le 1 \right\} 是平面直角坐标系中的点集. 设 dd 是 MM 中两点间距离的最大值，SS 是 MM 表示的图形的面积，则（ ）
A.
d=3d=3，S<1S<1
B.
d=3d=3，S>1S>1
C.
d=10d=\sqrt{10}，S<1S<1
D.
d=10d=\sqrt{10}，S>1S>1

2024 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列. 记集合 M={k∣ak=bk, k∈N∗}M=\{k\mid a_k=b_k,\ k\in \mathbf{N}^*\}，给出下列 4 个结论：
① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列，则 MM 中最多有 1 个元素； ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列，则 MM 中最多有 2 个元素； ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，则 MM 中最多有 3 个元素； ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列，{bn}\{b_n\} 为递减数列，则 MM 中最多有 1 个元素.
其中正确结论的序号是______.

2024 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），以椭圆 EE 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 (0,t)(0,t)（t>2t>\sqrt{2}）且斜率存在的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，过点 AA 和 C(0,1)C(0,1) 的直线 ACAC 与椭圆 EE 的另一个交点为 DD.
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率； (2) 若直线 BDBD 的斜率为 0，求 tt 的值.

2024 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=14(an−6)3+6a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_n-6)^3+6（n=1n=1，22，33，…\dots），则（ ）
A.
当 a1=3a_1=3 时，{an}\{a_n\} 为递减数列，且存在常数 M≤0M\le 0，使得 an>Ma_n>M 恒成立
B.
当 a1=5a_1=5 时，{an}\{a_n\} 为递增数列，且存在常数 M≤6M\le 6，使得 an<Ma_n<M 恒成立
C.
当 a1=7a_1=7 时，{an}\{a_n\} 为递减数列，且存在常数 M>6M>6，使得 an>Ma_n>M 恒成立
D.
当 a1=9a_1=9 时，{an}\{a_n\} 为递增数列，且存在常数 M>0M>0，使得 an<Ma_n<M 恒成立

2023 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<−ax<-a），f(x)=a2−x2f(x)=\sqrt{a^2-x^2}（−a≤x≤a-a\le x\le a），f(x)=−x−1f(x)=-\sqrt{x}-1（x>ax>a）. 给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1,+\infty) 上单调递减； ② 当 a≥1a\ge 1 时，f(x)f(x) 存在最大值； ③ 设 M(x1,f(x1))M(x_1,f(x_1))（x1≤ax_1\le a），N(x2,f(x2))N(x_2,f(x_2))（x2>ax_2>a），则 ∣MN∣>1|MN|>1； ④ 设 P(x3,f(x3))P(x_3,f(x_3))（x3<−ax_3<-a），Q(x4,f(x4))Q(x_4,f(x_4))（x4≥−ax_4\ge -a）.
若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值，则 aa 的取值范围是 (0,12]\left(0,\dfrac{1}{2}\right].
其中所有正确结论的序号是______.

2023 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的离心率为 53\dfrac{\sqrt{5}}{3}，AA，CC 分别是 EE 的上，下顶点，BB，DD 分别是 EE 的左，右顶点，∣AC∣=4|AC|=4.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设 PP 为第一象限内 EE 上的动点，直线 PDPD 与直线 BCBC 交于点 MM，直线 PAPA 与直线 y=−2y=-2 交于点 NN. 求证：MN∥CDMN\parallel CD.

2023 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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15数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 各项均为正数，其前 nn 项和 SnS_n 满足 anSn=9a_nS_n=9（n=1n=1，22，…\dots）. 给出下列四个结论：
① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3； ② {an}\{a_n\} 为等比数列； ③ {an}\{a_n\} 为递减数列； ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项.
其中所有正确结论的序号是______.

2022 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,1)A(0,1)，焦距为 232\sqrt3.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(−2,1)P(-2,1) 作斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与 xx 轴交于点 MM，NN. 当 ∣MN∣=2|MN|=2 时，求 kk 的值.

2022 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣−kx−2f(x)=|\lg x|-kx-2. 给出下列四个结论：
① 当 k=0k=0 时，f(x)f(x) 恰有 22 个零点； ② 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 11 个零点； ③ 存在负数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点； ④ 存在正数 kk，使得 f(x)f(x) 恰有 33 个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

2021 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 A1D1A_1D_1 的中点，B1C1B_1C_1 与平面 CDECDE 交于点 FF.
(1) 求证：FF 为 B1C1B_1C_1 中点； (2) 若 MM 是棱 A1B1A_1B_1 上一点，且二面角 M−FC−EM-FC-E 的余弦值为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，求 A1MA1B1\dfrac{A_1M}{A_1B_1} 的值.

2021 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,−2)A(0,-2)，以椭圆 EE 的四个顶点为顶点的四边形面积为 454\sqrt5.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(0,−3)P(0,-3) 斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与直线 y=−3y=-3 交于 MM，NN. 当 ∣PM∣+∣PN∣≤15|PM|+|PN|\le15 时，求 kk 的取值范围.

2021 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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08数列★★★★☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=−9a_1=-9，a3=−1a_3=-1. 记 Tn=a1a2⋯anT_n=a_1a_2\cdots a_n（n=1n=1，22，…\dots），则数列 {Tn}\{T_n\}（ ）
A.
有最大项，有最小项
B.
有最大项，无最小项
C.
无最大项，有最小项
D.
无最大项，无最小项

2020 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 过点 A(−2,−1)A(-2,-1)，且 a=2ba=2b.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 过点 B(−4,0)B(-4,0) 的直线 ll 交椭圆 CC 于点 MM，NN，直线 MAMA，NANA 分别交直线 x=−4x=-4 于点 PP，QQ. 求 ∣PBBQ∣\left|\dfrac{PB}{BQ}\right| 的值.

2020 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★★☆
数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2=1+∣x∣yC:x^2+y^2=1+\left|x\right|y 就是其中之一（如图）. 给出下列三个结论：
① 曲线 CC 恰好经过 66 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 CC 上任意一点到原点的距离都不超过 2\sqrt2； ③ 曲线 CC 所围成的“心形”区域的面积小于 33.
其中，所有正确结论的序号是（ ）.
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③

2019 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in[-2,4] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\left|f(x)-(x+a)\right|（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4][-2,4] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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08三角函数★★★★☆
如图，AA，BB 是半径为 22 的圆周上的定点，PP 为圆周上的动点，∠APB\angle APB 是锐角，大小为 β\beta. 图中阴影区域的面积的最大值为（ ）.
A.
4β+4cos⁡β4\beta+4\cos\beta
B.
4β+4sin⁡β4\beta+4\sin\beta
C.
2β+2cos⁡β2\beta+2\cos\beta
D.
2β+2sin⁡β2\beta+2\sin\beta

2019 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的右焦点为 (1,0)(1,0)，且经过点 A(0,1)A(0,1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 OO 为原点，直线 l:y=kx+tl:y=kx+t（t≠±1t\ne\pm1）与椭圆 CC 交于两个不同点 PP，QQ，直线 APAP 与 xx 轴交于点 MM，直线 AQAQ 与 xx 轴交于点 NN，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2，求证：直线 ll 经过定点.

2019 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x3−x2+xf(x)=\dfrac14x^3-x^2+x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率为 11 的切线方程； (2) 当 x∈[−2,4]x\in\left[-2,4\right] 时，求证：x−6≤f(x)≤xx-6\le f(x)\le x； (3) 设 F(x)=∣f(x)−(x+a)∣F(x)=\lvert f(x)-(x+a)\rvert（a∈Ra\in\mathbf{R}），记 F(x)F(x) 在区间 [−2,4]\left[-2,4\right] 上的最大值为 M(a)M(a)，当 M(a)M(a) 最小时，求 aa 的值.

2019 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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