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11高考真题6分解析几何★★★★★
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2F_1, F_2, 左、右顶点分别为 A1,A2A_1, A_2, 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 M,NM, N 两点, 且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}, 则 （ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2 = \frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1| = 2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a = \sqrt{2} 时, 四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt{3}

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11高考真题4分三角函数★★★★★
小申同学观察发现, 生活中有时候影子可以完全投射在斜面上。某斜面上有两根长为 11 米且垂直于水平面放置的杆子, 与斜面的接触点分别为 AA、BB, 它们在阳光的照射下呈现出影子, 阳光可视为平行光, 其中 AA 处杆子的影子在水平面上, 长度为 0.40.4 米, BB 处杆子的影子完全在斜面上, 长度为 0.450.45 米。则斜面的坡角 θ=\theta =______。(结果精确到 0.01∘0.01^\circ)

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12高考真题4分平面向量★★★★★
已知 f(x)={1,x>0,0,x=0,−1,x<0,f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0, \end{cases} 向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} 是平面内三个不同的单位向量, 若 f(a⃗⋅b⃗)+f(b⃗⋅c⃗)+f(c⃗⋅a⃗)=0f(\vec{a} \cdot \vec{b}) + f(\vec{b} \cdot \vec{c}) + f(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0, 则 ∣a⃗+b⃗+c⃗∣|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| 的取值范围是______。

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3, 其中 0<k<130 < k < \frac{1}{3}。
(1) 证明: f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点;
(2) 设 x1,x2x_1, x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 的极值点和零点。
① 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t) = f(x_1 + t) - f(x_1 - t)。证明: g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0, x_1) 单调递减;
② 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小, 并证明你的结论。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}, 下顶点为 AA, 右顶点为 B,∣AB∣=10B, |AB| = \sqrt{10}。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上, 点 RR 在射线 APAP 上, 且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3。
① 设 P(m,n)P(m,n), 求 RR 的坐标;
② 设 OO 为坐标原点, QQ 是 CC 上的动点, 直线 OROR 的斜率是直线 OPOP 的斜率的 33 倍, 求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 223\dfrac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB|=\sqrt{10}。
（1）求 CC 的方程；
（2）已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP|\cdot|AR|=3。
① 设 P(m,n)P(m,n)，求 RR 的坐标（用 m,nm,n 表示）；
② 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OQOQ 的斜率是直线 OPOP 的 33 倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值。

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19高考真题17分概率与统计★★★★★
甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 11 分, 负者得 00 分。设每个球甲胜的概率为 pp (12<p<1\frac{1}{2} < p < 1), 乙胜的概率为 qq, p+q=1p + q = 1, 且各球的胜负相互独立。对正整数 k≥2k \ge 2, 记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 22 分的概率, qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 22 分的概率。
(1) 求 p3,p4p_3, p_4 (用 pp 表示);
(2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4, 求 pp;
(3) 证明: 对任意正整数 mm, p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
(1) 求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x 在区间 [0,π4][0, \frac{\pi}{4}] 的最大值;
(2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi) 和 a∈Ra \in \mathbb{R}, 证明: 存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a-\theta, a+\theta] 使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta;
(3) 设 b∈Rb \in \mathbb{R}, 若存在 ϕ∈R\phi \in \mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+ϕ)≤b5\cos x - \cos(5x + \phi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbb{R} 恒成立, 求 bb 的最小值。

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19高考真题17分三角函数★★★★★
（1）求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x)=5\cos x-\cos 5x 在区间 [0,π4]\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] 的最大值；
（2）给定 θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi) 和 a∈Ra\in\mathbb{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y\in[a-\theta,a+\theta] 使得 cos⁡y⩽cos⁡θ\cos y\leqslant\cos\theta；
（3）设 b∈Rb\in\mathbb{R}，若存在 φ∈R\varphi\in\mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)⩽b5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b 对 x∈Rx\in\mathbb{R} 恒成立，求 bb 的最小值。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知 a∈Ra \in \mathbb{R}, 函数 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x) = ax - (\ln x)^2。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 有三个零点 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3, 且 x1<x2<x3x_1 < x_2 < x_3,
① 求 aa 的取值范围;
② 求证: (ln⁡x2−ln⁡x1)ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2 - \ln x_1)\ln x_3 < \frac{4e}{e - 1}。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域是 (−1,+∞)(-1, +\infty), f(0)=0f(0) = 0, 导函数 f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}。设 l1l_1 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(a,f(a))A(a, f(a)) (a≠0a \ne 0) 处的切线。
(1) 求 f′(x)f'(x) 的最大值;
(2) 当 −1<a<0-1 < a < 0 时, 证明: 除切点 AA 外, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在直线 l1l_1 的上方;
(3) 设过点 AA 的直线 l2l_2 与直线 l1l_1 垂直, l1,l2l_1, l_2 与 xx 轴交点的横坐标分别是 x1,x2x_1, x_2。若 a>0a > 0, 求 2a−x2−x1x2−x1\frac{2a - x_2 - x_1}{x_2 - x_1} 的取值范围。

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20高考真题14分解析几何★★★★★
设椭圆 Γ:x2a2+y25=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1 (a>5a > \sqrt{5}), 点 AA 为 Γ\Gamma 的右顶点, 点 M(0,m)M(0, m) (m>0m > 0)。
(1) 若 Γ\Gamma 的一个焦点是 (2,0)(2, 0), 求 Γ\Gamma 的离心率;
(2) 设 a=4a = 4, 椭圆 Γ\Gamma 上存在一点 PP 满足 PA→=2MP→\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{MP}, 求 mm 的值;
(3) 若线段 AMAM 的中垂线 ll 的斜率为 22, ll 与椭圆 Γ\Gamma 交于 CC、DD 两点, 且 ∠CMD\angle CMD 为钝角, 求 aa 的取值范围。

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21高考真题15分计数原理与组合数学★★★★★
已知集合 A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}, M={(x,y)∣x∈A,y∈A}M = \{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}。从 MM 中选取 nn 个不同的元素组成一个序列: (x1,y1),(x2,y2),⋯ ,(xn,yn)(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n), 其中 (xi,yi)(x_i, y_i) 称为该序列的第 ii 项 (i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n), 若该序列的相邻项 (xi,yi),(xi+1,yi+1)(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}) 满足 {∣xi+1−xi∣=3,∣yi+1−yi∣=4\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3, \\ |y_{i+1} - y_i| = 4 \end{cases} 或 {∣xi+1−xi∣=4,∣yi+1−yi∣=3\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 4, \\ |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases} (i=1,2,⋯ ,n−1i = 1, 2, \cdots, n-1), 则称该序列为 KK 列。
(1) 对于第 11 项为 (3,3)(3, 3) 的 KK 列, 写出它的第 22 项;
(2) 设 Γ\Gamma 为 KK 列, 且 Γ\Gamma 中的项 (xi,yi)(x_i, y_i) (i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n) 满足: 当 ii 为奇数时, xi∈{1,2,7,8}x_i \in \{1, 2, 7, 8\}; 当 ii 为偶数时, xi∈{3,4,5,6}x_i \in \{3, 4, 5, 6\}, 判断 (3,2)(3, 2), (4,4)(4, 4) 能否同时为 Γ\Gamma 中的项, 并说明理由;
(3) 证明: 由 MM 的全部元素组成的序列都不是 KK 列。

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21高考真题14分函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, 对于正实数 aa, 定义集合 Ma={x∣f(x+a)=f(x),x∈R}M_a = \{x \mid f(x + a) = f(x), x \in \mathbb{R}\}。
(1) 设 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x, 判断 π3\frac{\pi}{3} 是否是 MπM_\pi 中的元素, 并说明理由;
(2) 设 f(x)={x+2,x<0,x,x≥0,f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0, \\ \sqrt{x}, & x \ge 0, \end{cases} 且 Ma≠∅M_a \ne \varnothing, 求 aa 的取值范围;
(3) 若 y=f(x)y = f(x) 是偶函数, 当 x∈(0,1]x \in (0, 1] 时, f(x)=1−xf(x) = 1 - x, 且对任意 a∈(0,2)a \in (0, 2), 均有 Ma⊆M2M_a \subseteq M_2。写出当 x∈(1,2)x \in (1, 2) 时 f(x)f(x) 的表达式, 并证明: 对任意实数 cc, 函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 在区间 [−3,3][-3, 3] 上至多有 99 个零点。

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