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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
正四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1, AB=2AB=2, A1B1=1A_1B_1=1, AA1=2AA_1=\sqrt{2}, 体积为______。

2023新高考I卷 · 第 14 题 · 填空题

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15高考真题5分立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，E,FE,F 分别为 AB,C1D1AB,C_{1}D_{1} 的中点。以 EFEF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 ___ 个公共点。

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15高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中 AB=1AB=1, EE 为 A1D1A_1D_1 中点, 点 BB 到平面 ACEACE 距离______。

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15高考真题5分数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等比数列, a2a4a5=a3a6a_2 a_4 a_5 = a_3 a_6, a9a10=−8a_9 a_{10} = -8, 则 a7=a_7 =______。

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15高考真题5分不等式★★☆☆☆
若 x,yx, y 满足约束条件 {x−3y≤−1,x+2y≤9,3x+y≥7,\begin{cases} x - 3y \le -1, \\ x + 2y \le 9, \\ 3x + y \ge 7, \end{cases} 则 z=2x−yz = 2x - y 的最大值为______。

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15高考真题5分三角函数★★★★☆
已知 a>0a > 0, 函数 y=sin⁡xy = \sin x 在区间 [a,2a][a, 2a] 上的最小值为 ss, 在区间 [2a,3a][2a, 3a] 上的最小值为 tt.当 aa 变化时, 下列一定不成立的是 （ ）
A.
s>0, t>0s > 0,\ t > 0
B.
s>0, t<0s > 0,\ t < 0
C.
s<0, t<0s < 0,\ t < 0
D.
s<0, t>0s < 0,\ t > 0

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15高考真题5分导数及其应用★★★★☆
函数 f(x)=ax3−3x+1f(x) = ax^3 - 3x + 1 在 x∈[−1,1]x \in [-1, 1] 上 f(x)≥0f(x) \ge 0 恒成立, 则 a=a =______。

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15高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a > 0, 函数 f(x)={x+2,x<−aa2−x2,−a≤x≤a−x−1,x>af(x) = \begin{cases} x+2, & x < -a \\ \sqrt{a^2-x^2}, & -a \le x \le a \\ -\sqrt{x}-1, & x > a \end{cases}
给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在区间 (a−1,+∞)(a-1, +\infty) 上单调递减；
② 当 a≥1a \ge 1 时, f(x)f(x) 存在最大值；
③ 设 M(x1,f(x1))(x1≤a)M(x_1, f(x_1)) (x_1 \le a), N(x2,f(x2))(x2>a)N(x_2, f(x_2)) (x_2 > a), 则 ∣MN∣>1|MN| > 1；
④ 设 P(x3,f(x3))(x3<−a)P(x_3, f(x_3)) (x_3 < -a), Q(x4,f(x4))(x4≥−a)Q(x_4, f(x_4)) (x_4 \ge -a)。若 ∣PQ∣|PQ| 存在最小值, 则 aa 的取值范围是 (0,12](0, \frac{1}{2}]。
其中所有正确结论的序号是______。

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15高考真题5分解析几何★★★☆☆
直线 x−my+1=0x - my + 1 = 0 与 ⊙C:(x−1)2+y2=4\odot C: (x-1)^2 + y^2 = 4 交于 A,BA,B, △ABC\triangle ABC 面积为 85\frac{8}{5}, 写出 mm 的一个值______。

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15高考真题5分三角函数★★★☆☆
f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1 (ω>0\omega>0) 在 [0,2π][0,2\pi] 有且仅有 3 个零点, ω\omega 取值范围______。

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16高考真题5分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠BAC=60∘\angle BAC=60^{\circ}，AB=2AB=2，BC=6BC=\sqrt{6}，∠BAC\angle BAC 的角平分线交 BCBC 于 DD，则 AD=AD= ___

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16高考真题5分三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中 ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ, AB=2AB=2, BC=6BC=\sqrt{6}, ADAD 平分 ∠BAC\angle BAC 交 BCBC 于 DD, 则 AD=AD =______。

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16高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
设 a∈(0,1)a \in (0, 1), 若函数 f(x)=ax+(1+a)xf(x) = a^x + (1+a)^x 在 (0,+∞)(0, +\infty) 单调递增, 则 aa 的取值范围是______。

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16高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知点 S,A,B,CS, A, B, C 均在半径为 22 的球面上, △ABC\triangle ABC 是边长为 33 的等边三角形, SA⊥SA \perp 平面 ABCABC, 则 SA=SA =______。

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16高考真题5分解析几何★★★★★
对于曲线 CC, 若存在点 MM, 使得对任意的点 P∈CP \in C, 都存在 Q∈CQ \in C, 且 ∣PM∣⋅∣QM∣=1|PM| \cdot |QM| = 1, 则称曲线 CC 为"自相关曲线".有以下结论: ① 任何椭圆都是"自相关曲线"; ② 存在双曲线是"自相关曲线".关于上述两个结论, 说法正确的是 （ ）
A.
①成立, ②成立
B.
①成立, ②不成立
C.
①不成立, ②成立
D.
①不成立, ②不成立

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中 bsin⁡2A=asin⁡Bb\sin 2A = a\sin B, c=3c = 3。
(1) 求 AA;
(2) 若 a=7a = \sqrt{7}, 求 bb。

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16高考真题14分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在三棱锥 P−ABCP-ABC 中, PA⊥PA \perp 平面 ABCABC, PA=AB=BC=1PA = AB = BC = 1, PC=3PC = \sqrt{3}。
(1) 求证: BC⊥BC \perp 平面 PABPAB；
(2) 求二面角 A−PC−BA-PC-B 的大小。

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16高考真题5分三角函数★★★★☆
f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin(\omega x + \varphi), A,BA,B 是 y=12y = \frac{1}{2} 与 f(x)f(x) 两交点, ∣AB∣=π6|AB| = \frac{\pi}{6}, 则 f(π)=f(\pi) =______。

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16高考真题5分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, 点 AA 在 CC 上, BB 在 yy 轴上, F1A→⊥F1B→\overrightarrow{F_1A} \perp \overrightarrow{F_1B}, F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{F_2B}, 离心率______。

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17高考真题12分数列★★★☆☆
记 SnS_{n} 为数列 an{a_{n}} 的前 nn 项和，已知 a2=1a_{2}=1，2Sn=nan2S_{n}=na_{n}。
（1）求 an{a_{n}} 的通项公式；
（2）求数列 {an+12n}{\left\{\dfrac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}} 的前 nn 项和 TnT_{n}。

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17高考真题12分数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_n\} 中 a1=1a_1=1, SnS_n 为前 nn 项和, 2Sn=nan2S_n = na_n。
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式;
(2) 求数列 {an+12n}\{\frac{a_n+1}{2^n}\} 的前 nn 项和 TnT_n。

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17高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行 1010 次配对试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi,yix_i, y_i (i=1,2,⋯ ,10i = 1, 2, \cdots, 10)。试验结果如下:
试验序号 ii12345678910
伸缩率 xix_i545533551522575544541568596548
伸缩率 yiy_i536527543530560533522550576536
记 zi=xi−yiz_i = x_i - y_i (i=1,2,⋯ ,10i = 1, 2, \cdots, 10), 记 z1,z2,⋯ ,z10z_1, z_2, \cdots, z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar{z}, 样本方差为 s2s^2。
(1) 求 zˉ\bar{z}, s2s^2;
(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}, 则认为有显著提高, 否则不认为有显著提高）。

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17高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行 1010 次配对试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi,yix_i, y_i (i=1,2,⋯ ,10i = 1, 2, \cdots, 10)。试验结果如下:
试验序号 ii12345678910
伸缩率 xix_i545533551522575544541568596548
伸缩率 yiy_i536527543530560533522550576536
记 zi=xi−yiz_i = x_i - y_i (i=1,2,⋯ ,10i = 1, 2, \cdots, 10), 记 z1,z2,⋯ ,z10z_1, z_2, \cdots, z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar{z}, 样本方差为 s2s^2。
(1) 求 zˉ\bar{z}, s2s^2;
(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}, 则认为有显著提高, 否则不认为有显著提高）。

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17高考真题14分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1 中, AB∥DCAB \parallel DC, AB⊥ADAB \perp AD, AB=2AB = 2, AD=3AD = 3, DC=4DC = 4.
(1) 求证: A1B∥A_1B \parallel 平面 DCC1D1DCC_1D_1;
(2) 若直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1 的体积为 3636, 求二面角 A1-BD-AA_1\text{-}BD\text{-}A 的大小.

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1, AB=AC=AA1=2AB=AC=AA_1=2, ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ。
(1) 证 A1C⊥BC1A_1C \perp BC_1;
(2) 求 A1BA_1B 与平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成角正弦。

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