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07高考真题4分集合与逻辑基础★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD, 则"f(x)f(x) 的值域为 R\mathbb{R}"是"对任意 M∈RM \in \mathbb{R}, 存在 x0∈Dx_0 \in D, 使得 ∣f(x0)∣>M|f(x_0)| > M"的 （ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2025北京卷 · 第 7 题 · 选择题

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08高考真题4分三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωx+cos⁡ωxf(x) = \sin\omega x + \cos\omega x (ω>0\omega > 0), 若 f(x+π)=f(x)f(x + \pi) = f(x) 恒成立, 且 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 上存在零点, 则 ω\omega 的最小值为 （ ）
A.
88
B.
66
C.
44
D.
33

2025北京卷 · 第 8 题 · 选择题

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09高考真题4分指数函数与对数函数★★★☆☆
在一定条件下, 某人工智能大语言模型训练 NN 个单位的数据量所需要的时间 T=klog⁡2NT = k\log_2 N (单位: h), 其中 kk 为常数。在此条件下, 已知训练数据量 NN 从 10610^6 个单位增加到 1.024×1091.024 \times 10^9 个单位时, 训练时间增加 2020 h; 当训练数据量 NN 从 1.024×1091.024 \times 10^9 个单位增加到 4.096×1094.096 \times 10^9 个单位时, 训练时间增加 （ ）
A.
22 h
B.
44 h
C.
2020 h
D.
4040 h

2025北京卷 · 第 9 题 · 选择题

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, cos⁡A=−13\cos A = -\frac{1}{3}, asin⁡C=42a\sin C = 4\sqrt{2}。
(1) 求 cc 的值;
(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC\triangle ABC 存在, 求 BCBC 边上的高。
条件①: a=6a = 6; 条件②: asin⁡B=1023a\sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}; 条件③: △ABC\triangle ABC 的面积为 10210\sqrt{2}。

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某次考试中, 只有一道单项选择题考查了某个知识点, 甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况, 随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100100 名学生该题的答题数据, 其中甲校学生选择正确的人数为 8080, 乙校学生选择正确的人数为 7575。假设学生之间答题相互独立。用频率估计概率。
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 pp;
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取 11 名。设 XX 为这 22 名学生中该题选择正确的人数, 估计 X=1X = 1 的概率及 XX 的数学期望;
(3) 假设: 如果没有掌握该知识点, 学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案; 如果掌握该知识点, 甲校学生选择正确的概率为 100%100\%, 乙校学生选择正确的概率为 85%85\%。设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 p1,p2p_1, p_2, 判断 p1p_1 与 p2p_2 的大小。(结论不要求证明)

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08高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, 底面 ABCDABCD 是边长为 44 的正方形, PA=PB=4,PC=PD=22PA = PB = 4, PC = PD = 2\sqrt{2}。该棱锥的高为 ()(\quad)
gaokaomath-2024-G-beijing-08-fig-01
A.
11
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2024北京卷 · 第 8 题 · 选择题

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09高考真题5分指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 (x1,y1),(x2,y2)(x_1, y_1), (x_2, y_2) 是函数 y=2xy = 2^x 的图象上两个不同的点, 则 ()(\quad)
A.
log⁡2y1+y22<x1+x22\log_2 \dfrac{y_1 + y_2}{2} < \dfrac{x_1 + x_2}{2}
B.
log⁡2y1+y22>x1+x22\log_2 \dfrac{y_1 + y_2}{2} > \dfrac{x_1 + x_2}{2}
C.
log⁡2y1+y22<x1+x2\log_2 \dfrac{y_1 + y_2}{2} < x_1 + x_2
D.
log⁡2y1+y22>x1+x2\log_2 \dfrac{y_1 + y_2}{2} > x_1 + x_2

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13高考真题5分解析几何★★★☆☆
若直线 y=k(x−3)y = k(x - 3) 与双曲线 x24−y2=1\frac{x^2}{4} - y^2 = 1 只有一个公共点, 则 kk 的一个取值为 ______。

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 1010 的等比数列, 底面直径依次为 65 mm,325 mm,325 mm65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}, 且斛量器的高为 230 mm230\text{ mm}, 则斗量器的高为 ______ mm\text{mm}, 升量器的高为 ______ mm\text{mm}。(不计量器的厚度)

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, ∠A\angle A 为钝角, a=7,sin⁡2B=37bcos⁡Ba = 7, \sin 2B = \dfrac{\sqrt{3}}{7} b \cos B。
(1) 求 ∠A\angle A;
(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC\triangle ABC 存在, 求 △ABC\triangle ABC 的面积。 条件①: b=7b = 7; 条件②: cos⁡B=1314\cos B = \dfrac{13}{14}; 条件③: csin⁡A=532c \sin A = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}。

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17高考真题15分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, BC∥AD,AB=BC=1,AD=3BC \parallel AD, AB = BC = 1, AD = 3。点 EE 在 ADAD 上, 且 PE⊥AD,PE=DE=2PE \perp AD, PE = DE = 2。
(1) 若 FF 为线段 PEPE 的中点, 求证: BF∥BF \parallel 平面 PCDPCD;
(2) 若 AB⊥AB \perp 平面 PADPAD, 求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 夹角的余弦值。
gaokaomath-2024-G-beijing-17-fig-01

2024北京卷 · 第 17 题 · 解答题

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某保险公司随机抽取 10001000 份保单, 索赔情况如下表:
索赔次数01234
保单份数800100603010
保费 0.40.4 万元; 前三次索赔每次赔偿 0.80.8 万元; 第四次赔偿 0.60.6 万元。
(1) 估计一份保单索赔次数不少于 22 的概率; (2) ① 记 XX 为一份保单的毛利润, 估计 EXEX; ② 比较保费调整后新期望值与 EXEX 的大小。

2024北京卷 · 第 18 题 · 解答题

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09高考真题4分立体几何初步★★★☆☆
坡屋顶是我国传统建筑造型之一, 蕴含着丰富的数学元素。安装灯带可以勾勒出建筑轮廓, 展现造型之美。如图, 某坡屋顶可视为一个五面体, 其中两个面是全等的等腰梯形, 两个面是全等的等腰三角形。若 AB=25 mAB = 25\text{ m}, BC=10 mBC = 10\text{ m}, 且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 ABCDABCD 的夹角的正切值均为 145\frac{\sqrt{14}}{5}, 则该五面体的所有棱长之和为 （ ）
A.
102 m102\text{ m}
B.
112 m112\text{ m}
C.
117 m117\text{ m}
D.
125 m125\text{ m}

2023北京卷 · 第 9 题 · 选择题

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13高考真题5分集合与逻辑基础★★★☆☆
已知命题 pp: 若 α,β\alpha, \beta 为第一象限角, 且 α>β\alpha > \beta, 则 tan⁡α>tan⁡β\tan \alpha > \tan \beta。能说明 pp 为假命题的一组 α,β\alpha, \beta 的值为 α=\alpha =______, β=\beta =______。

2023北京卷 · 第 13 题 · 填空题

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14高考真题5分数列★★★☆☆
我国度量衡的发展有着悠久的历史, 战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”。已知 99 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 99 的数列 {an}\{a_n\}, 该数列的前 33 项成等差数列, 后 77 项成等比数列, 且 a1=1a_1 = 1, a5=12a_5 = 12, a9=192a_9 = 192, 则 a7=a_7 =______; 数列 {an}\{a_n\} 所有项的和为______。

2023北京卷 · 第 14 题 · 填空题

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16高考真题14分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在三棱锥 P−ABCP-ABC 中, PA⊥PA \perp 平面 ABCABC, PA=AB=BC=1PA = AB = BC = 1, PC=3PC = \sqrt{3}。
(1) 求证: BC⊥BC \perp 平面 PABPAB；
(2) 求二面角 A−PC−BA-PC-B 的大小。

2023北京卷 · 第 16 题 · 解答题

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17高考真题14分三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωxcos⁡ϕ+cos⁡ωxsin⁡ϕf(x) = \sin \omega x \cos \phi + \cos \omega x \sin \phi (ω>0,∣ϕ∣<π2\omega > 0, |\phi| < \frac{\pi}{2})。
(1) 若 f(0)=−32f(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, 求 ϕ\phi 的值；
(2) 已知 f(x)f(x) 在区间 [−π3,2π3][-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}] 上单调递增, f(2π3)=1f(\frac{2\pi}{3}) = 1, 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使函数 f(x)f(x) 存在, 求 ω,ϕ\omega, \phi 的值。
条件①：f(π3)=1f(\frac{\pi}{3}) = 1；
条件②：f(−π3)=−1f(-\frac{\pi}{3}) = -1；
条件③：f(x)f(x) 在区间 [−π2,−π3][-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}] 上单调递减。

2023北京卷 · 第 17 题 · 解答题

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09高考真题4分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱锥 P−ABCP-ABC 的六条棱长均为 6, SS 是 △ABC\triangle ABC 及其内部的点构成的集合, 设集合 T={Q∈S∣PQ⩽5}T = \{Q \in S \mid PQ \leqslant 5\}, 则 TT 表示的区域的面积为 （ ）
A.
3π4\dfrac{3\pi}{4}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
3π3\pi

2022北京卷 · 第 9 题 · 选择题

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10高考真题4分平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, AC=3,BC=4,∠C=90∘AC = 3, BC = 4, \angle C = 90^\circ。PP 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内的动点, 且 PC=1PC = 1, 则 PA⃗⋅PB⃗\vec{PA} \cdot \vec{PB} 的取值范围是 （ ）
A.
[−5,3][-5, 3]
B.
[−3,5][-3, 5]
C.
[−6,4][-6, 4]
D.
[−4,6][-4, 6]

2022北京卷 · 第 10 题 · 选择题

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14高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)={−ax+1,x<a,(x−2)2,x⩾a.f(x) = \begin{cases} -ax + 1, & x < a, \\ (x - 2)^2, & x \geqslant a. \end{cases} 若 f(x)f(x) 存在最小值, 则 aa 的一个取值为 ______;;a的最大值为______的最大值为 \_\_\_\_\_\_

2022北京卷 · 第 14 题 · 填空题

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15高考真题5分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数, 其前 nn 项和 SnS_n 满足 an⋅Sn=9 (n=1,2,…)a_n \cdot S_n = 9 \ (n = 1, 2, \ldots)。给出下列四个结论: ① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3; ② {an}\{a_n\} 为等比数列; ③ {an}\{a_n\} 为递减数列; ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项。 其中所有正确结论的序号是 ______$

2022北京卷 · 第 15 题 · 填空题

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17高考真题14分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中, 侧面 BCC1B1BCC_1B_1 为正方形, 平面 BCC1B1⊥BCC_1B_1 \perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1, AB=BC=2AB = BC = 2, M,NM, N 分别为 A1B1,ACA_1B_1, AC 的中点。 (1) 求证: MN∥MN \parallel 平面 BCC1B1BCC_1B_1; (2) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知, 求直线 ABAB 与平面 BMNBMN 所成角的正弦值。 条件①: AB⊥MNAB \perp MN; 条件②: BM=MNBM = MN。

2022北京卷 · 第 17 题 · 解答题

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19高考真题14分解析几何★★★☆☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0,1)A(0, 1), 焦距为 232\sqrt{3}。 (1) 求椭圆 EE 的方程; (2) 过点 P(−2,1)P(-2, 1) 作斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 B,CB, C, 直线 AB,ACAB, AC 分别与 xx 轴交于点 M,NM, N。当 ∣MN∣=2|MN| = 2 时, 求 kk 的值。

2022北京卷 · 第 19 题 · 解答题

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20高考真题14分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x) = e^x \ln(1 + x)。 (1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 设 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0, +\infty) 上的单调性; (3) 证明: 对任意的 s,t∈(0,+∞)s, t \in (0, +\infty), 有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s + t) > f(s) + f(t)。

2022北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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