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10高考真题6分立体几何初步★★★★☆
在空间中，AA、BB 为两个定点，动点 CC 到直线 ABAB 的距离为 22，动点 DD 到直线 ABAB 的距离为 11。若二面角 CC-ABAB-DD 为 60∘60^\circ，则（ ）
A.
∠CAD⩾60∘\angle CAD\geqslant 60^\circ
B.
CD⩾3CD\geqslant \sqrt{3}
C.
当 AB⊥CDAB\perp CD 时，CD⊥CD\perp 平面 ABDABD
D.
当 AC⊥AC\perp 平面 ABDABD 时，AB⊥ADAB\perp AD

2026全国一卷 · 第 10 题 · 多选题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB = 2，AA1=3AA_1 = 3，AD=4AD = 4，A1E=3ED1A_1E = 3ED_1，2C1F=FC2C_1F = FC。
(1) 求证：BA1⊥面AEFBA_1 \perp \text{面} AEF；
(2) 求面 AEFAEF 与面 ABCABC 的夹角的余弦值；
(3) 求三棱锥 A−A1EFA - A_1EF 的体积。

2026天津卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 44, E,FE, F 分别为 A1D1A_1D_1 和 B1C1B_1C_1 的中点, GG 在线段 CC1CC_1 上, 且 CG=3GC1CG = 3GC_1。
(1) 求证: GF⊥GF \perp 平面 EBFEBF;
(2) 求平面 EBFEBF 和平面 EBGEBG 夹角的余弦值;
(3) 求三棱锥 D−EBFD-EBF 的体积。

2025天津卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, △ADC\triangle ADC 与 △BAC\triangle BAC 均为等腰直角三角形, ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ, ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ, EE 为 BCBC 的中点。
(1) 若 F,GF, G 分别为 PD,PEPD, PE 的中点, 求证: FG∥FG \parallel 平面 PABPAB;
(2) 若 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD, PA=ACPA = AC, 求直线 ABAB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值。

2025北京卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四边形 ABCDABCD 中, AB∥CDAB \parallel CD, ∠DAB=90∘\angle DAB = 90^\circ, FF 为 CDCD 的中点, 点 EE 在 ABAB 上, EF∥ADEF \parallel AD, AB=3ADAB = 3AD, CD=2ADCD = 2AD。将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A', 使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ。
(1) 证明: A′B∥A'B \parallel 平面 CD′FCD'F;
(2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值。

2025全国二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB\perp AD，BC∥ADBC\parallel AD。
（1）证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PADPAD；
（2）设 PA=AB=2PA=AB=\sqrt{2}，BC=2BC=2，AD=1+3AD=1+\sqrt{3}，且点 P,B,C,DP,B,C,D 均在球 OO 的球面上。
① 证明：点 OO 在平面 ABCDABCD 内；
② 求直线 ACAC 与 POPO 所成角的余弦值。

2025全国一卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD, PA=AC=2PA = AC = 2, BC=1BC = 1, AB=3AB = \sqrt{3}. (1) 若 AD∥PBAD \parallel PB, 证明: AD⊥AD \perp 平面 PBCPBC; (2) 若 AD⊥DCAD \perp DC, 且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}, 求 ADAD.
fig-01

2024新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在以 A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形, EF∥ADEF \parallel AD, BC∥ADBC \parallel AD, AD=4AD = 4, AB=BC=EF=2AB = BC = EF = 2, ED=10ED = \sqrt{10}, FB=23FB = 2\sqrt{3}, MM 为 ADAD 的中点. (1) 证明: BM∥BM \parallel 平面 CDECDE; (2) 求二面角 F−BM−EF - BM - E 的正弦值.

2024全国甲卷(理) · 第 19 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1, AB=AC=AA1=2AB=AC=AA_1=2, ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ。
(1) 证 A1C⊥BC1A_1C \perp BC_1;
(2) 求 A1BA_1B 与平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成角正弦。

2023天津卷 · 第 17 题 · 解答题

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18高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，A1C⊥A_{1}C\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，AA1=2AA_{1}=2，A1A_{1} 到平面 BCC1B1BCC_{1}B_{1} 的距离为 11。
（1）证明：A1C=ACA_{1}C=AC；
（2）已知 AA1AA_{1} 与 BB1BB_{1} 的距离为 22，求 AB1AB_{1} 与平面 BCC1B1BCC_{1}B_{1} 所成角的正弦值。

2023全国甲卷理科 · 第 18 题 · 解答题

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18高考真题12分立体几何初步★★★★☆
三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1, AA1⊥AA_1 \perp 平面 ABCABC, ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ, AC=BC=AA1=2AC=BC=AA_1=2。
(1) 求 A1A_1 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离;
(2) 求 AA1AA_1 与 BC1BC_1 所成的角。

2023全国甲卷(文) · 第 18 题 · 解答题

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18高考真题17分立体几何初步★★★★☆
如图, 直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1, AB=2AB=2, AA1=4AA_1=4。点 A2,B2,C2,D2A_2,B_2,C_2,D_2 分别在棱 AA1,BB1,CC1,DD1AA_1,BB_1,CC_1,DD_1 上, 且 AA2=1AA_2=1, BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2, CC2=3CC_2=3。
(1) 证明: B2C2∥A2D2B_2C_2 \parallel A_2D_2;
(2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上, 当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时, 求 B2PB_2P 的长。

2023新高考I卷 · 第 18 题 · 解答题

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在三棱锥 P-ABCP\text{-}ABC 中, AB⊥BCAB \perp BC, AB=2AB = 2, BC=22BC = 2\sqrt{2}, PB=PC=6PB = PC = \sqrt{6}, BP,AP,BCBP, AP, BC 的中点分别为 D,E,OD, E, O, AD=5 DOAD = \sqrt{5}\,DO, 点 FF 在 ACAC 上, BF⊥AOBF \perp AO。
(1) 证明: EF∥EF \parallel 平面 ADOADO;
(2) 证明: 平面 ADO⊥ADO \perp 平面 BEFBEF;
(3) 求二面角 D-AO-CD\text{-}AO\text{-}C 的正弦值。

2023全国乙卷(理) · 第 19 题 · 解答题

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20高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 三棱锥 A−BCDA-BCD, DA=DB=DCDA=DB=DC, BD⊥CDBD \perp CD, ∠ADB=∠ADC=60∘\angle ADB = \angle ADC = 60^\circ, EE 为 BCBC 中点。
(1) 证明 BC⊥DABC \perp DA;
(2) FF 满足 EF→=DA→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DA}, 求二面角 D−AB−FD-AB-F 的正弦值。

2023新高考II卷 · 第 20 题 · 解答题

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18高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 四面体 ABCDABCD 中, AD⊥CDAD \perp CD, AD=CDAD = CD, ∠ADB=∠BDC\angle ADB = \angle BDC, EE 为 ACAC 的中点。
(1) 证明: 平面 BED⊥BED \perp 平面 ACDACD;
(2) 设 AB=BD=2AB = BD = 2, ∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ, 点 FF 在 BDBD 上, 当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时, 求 CFCF 与平面 ABDABD 所成的角的正弦值。

2022全国乙卷(理) · 第 18 题 · 解答题

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