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20高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x) = a(x - 1) - \ln x + 1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性;
(2) 设 a⩽2a \leqslant 2, 证明: 当 x>1x > 1 时, f(x)<ex−1f(x) < e^{x-1}.

2024全国甲卷(文) · 第 20 题 · 解答题

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20高考真题15分导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x) = x + k \ln(1 + x) (k≠0k \neq 0), ll 是曲线在 (t,f(t))(t, f(t)) 处的切线。
(1) k=−1k = -1 时, 求单调区间; (2) 证明: ll 不经过点 (0,0)(0, 0); (3) k=1k = 1 时, 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO} = 15S_{\triangle ABO} 是否成立? 有几个点 AA?

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x) = (1 - ax)\ln(1 + x) - x. (1) 若 a=−2a = -2, 求 f(x)f(x) 的极值; (2) 当 x⩾0x \geqslant 0 时, f(x)⩾0f(x) \geqslant 0, 求 aa 的取值范围.

2024全国甲卷(理) · 第 21 题 · 解答题

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04高考真题5分导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=2x(x−a)f(x) = 2^{x(x-a)} 在区间 (0,1)(0, 1) 单调递减, 则 aa 的取值范围是 （ ）
A.
(−∞,−2](-\infty, -2]
B.
[−2,0)[-2, 0)
C.
(0,2](0, 2]
D.
[2,+∞)[2, +\infty)

2023新高考I卷 · 第 4 题 · 选择题

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06高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
已知 f(x)=aex−ln⁡xf(x) = ae^x - \ln x 在 (1,2)(1,2) 单调递增, 则 aa 的最小值为 （ ）
A.
e2e^2
B.
ee
C.
e−1e^{-1}
D.
e−2e^{-2}

2023新高考II卷 · 第 6 题 · 选择题

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08高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
曲线 y=exx+1y = \frac{e^x}{x+1} 在 (1,e2)(1, \frac{e}{2}) 处切线方程为 （ ）
A.
y=e4xy = \frac{e}{4}x
B.
y=e2xy = \frac{e}{2}x
C.
y=e4x+e4y = \frac{e}{4}x + \frac{e}{4}
D.
y=e2x+3e4y = \frac{e}{2}x + \frac{3e}{4}

2023全国甲卷(文) · 第 8 题 · 选择题

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08高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
若函数 f(x)=x3+ax+2f(x) = x^3 + ax + 2 存在 33 个零点, 则 aa 的取值范围是 （ ）
A.
(−∞,−2)(-\infty, -2)
B.
(−∞,−3)(-\infty, -3)
C.
(−4,−1)(-4, -1)
D.
(−3,0)(-3, 0)

2023全国乙卷(文) · 第 8 题 · 选择题

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09高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, 若 f(x)f(x) 有三个零点, 且 f(0)=f(2)=0f(0) = f(2) = 0, 则 a+b+c=a+b+c = （ ）
A.
66
B.
44
C.
22
D.
00

2023天津卷 · 第 9 题 · 选择题

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11高考真题5分导数及其应用★★★★☆
某公园欲建设一段斜坡, 斜坡面是一平面, 坡面与水平地面所成角为 θ\theta, 坡顶距水平地面的高度为 44 m.游客从坡底沿着斜坡面向上直行, 每走 11 m 消耗的体力为 1.025−cos⁡θ1.025 - \cos\theta.当 θ=\theta =______ 时, 游客走斜坡所消耗的体力最小.

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11高考真题6分导数及其应用★★★★☆
f(x)=aln⁡x+bx+cx2f(x) = a\ln x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2} (a≠0a \ne 0) 既有极大值也有极小值, 则 （ ）
A.
bc>0bc > 0
B.
ab>0ab > 0
C.
b2+8ac>0b^2 + 8ac > 0
D.
ac<0ac < 0

2023新高考II卷 · 第 11 题 · 多选题

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15高考真题5分导数及其应用★★★★☆
函数 f(x)=ax3−3x+1f(x) = ax^3 - 3x + 1 在 x∈[−1,1]x \in [-1, 1] 上 f(x)≥0f(x) \ge 0 恒成立, 则 a=a =______。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=a(ex+a)−xf(x) = a(e^x + a) - x。
(1) 讨论单调性;
(2) 当 a>0a > 0 时, 证明 f(x)>2ln⁡a+32f(x) > 2\ln a + \frac{3}{2}。

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20高考真题12分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x) = \left(\dfrac{1}{x} + a\right)\ln(1 + x)。
(1) 当 a=−1a = -1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若函数 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 单调递增, 求 aa 的取值范围。

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20高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x) = ax - \frac{\sin x}{\cos^3 x}, x∈(0,π2)x \in (0, \frac{\pi}{2})。
(1) 当 a=8a=8 时, 讨论 f(x)f(x) 的单调性;
(2) 若 f(x)<sin⁡2xf(x) < \sin 2x 恒成立, 求 aa 的取值范围。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
f(x)=(1x+12)ln⁡(x+1)f(x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2})\ln(x+1), 曲线在 (1,f(1))(1,f(1)) 切线为 ll。
(1) 求 ll 方程;
(2) 证 f(x)f(x) 在 (−1,0)(-1,0) 上唯一极大值点;
(3) 若 f(x)≤kxf(x) \le kx 在 (0,+∞)(0,+\infty) 恒成立, 求 kk 范围。

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20高考真题14分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x−x3eax+bf(x) = x - x^3 e^{ax+b}, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1y = -x + 1。
(1) 求 a,ba, b 的值；
(2) 设函数 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 求 g(x)g(x) 的单调区间；
(3) 求 f(x)f(x) 的极值点个数。

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21高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x) = \left(\dfrac{1}{x} + a\right)\ln(1 + x)。
(1) 当 a=−1a = -1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 是否存在 a,ba, b, 使得曲线 y=f(1x)y = f\left(\dfrac{1}{x}\right) 关于直线 x=bx = b 对称? 若存在, 求 a,ba, b; 若不存在, 说明理由;
(3) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 存在极值, 求 aa 的取值范围。

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)。
（1）当 a=8a=8 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性；
（2）若 f(x)<sin⁡2xf(x)<\sin 2x，求 aa 的取值范围。

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21高考真题18分导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x.曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (a1,f(a1))(a_1, f(a_1)) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0, a_2), 且 a2>0a_2 > 0; 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (a2,f(a2))(a_2, f(a_2)) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0, a_3); 以此类推, 直至 am⩽0a_m \leqslant 0 时停止操作, 得到数列 {an}\{a_n\}, 其中 mm、nn 为正整数, 1<n⩽m1 < n \leqslant m.
(1) 证明: 当 n⩾2n \geqslant 2 时, an=ln⁡an−1−1a_n = \ln a_{n-1} - 1;
(2) 当 n⩾2n \geqslant 2 时, 试比较 ana_n 和 an−1−2a_{n-1} - 2 的大小, 并说明理由;
(3) 是否存在不小于 33 的正整数 kk, 使得 a1,a2,a3,⋯ ,aka_1, a_2, a_3, \cdots, a_k 成等差数列? 若存在, 求出 kk 的所有取值; 若不存在, 请说明理由.

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22高考真题15分导数及其应用★★★★★
(1) 证明 0<x<10 < x < 1 时 x−x2<sin⁡x<xx - x^2 < \sin x < x;
(2) f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x) = \cos ax - \ln(1 - x^2), 若 x=0x = 0 是 f(x)f(x) 的极大值点, 求 aa 范围。

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11高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1f(x) = \cos x + (x + 1)\sin x + 1 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 的最小值、最大值分别为（ ）
A.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
B.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
C.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2} + 2
D.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2} + 2

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16高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 x=x1x = x_1 和 x=x2x = x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x) = 2ax - e^{x^2} (a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1) 的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1 < x_2, 则 aa 的取值范围是 ______.

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20高考真题12分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x) = ax - \dfrac{1}{x} - (a + 1)\ln x。
(1) 当 a=0a = 0 时，求 f(x)f(x) 的最大值；
(2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围。

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20高考真题14分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x) = e^x \ln(1 + x)。 (1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 设 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0, +\infty) 上的单调性; (3) 证明: 对任意的 s,t∈(0,+∞)s, t \in (0, +\infty), 有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s + t) > f(s) + f(t)。

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21高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x) = \ln(1 + x) + axe^{-x}。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1, 0), (0,+∞)(0, +\infty) 各恰有一个零点, 求 aa 的取值范围。

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