真题题库 | 数迹

5

6

8

9

2026全国一卷 · 第 1 题 · 选择题

08高考真题5分概率与统计★★★★☆

U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},\,i=1,2,3\}

为空间中

64

个点构成的集合，点

P(1,1,1)

，记样本空间

\Omega=\complement_U\{P\}

，从

\Omega

中随机取一个点，定义随机变量

X

如下：对

\Omega

中的每个点

A(x_1,x_2,x_3)

，令

X(A)=x_1+x_2+x_3

，则

X

的数学期望值为（）

-\dfrac{1}{21}

-\dfrac{1}{63}

0

\dfrac{1}{7}

2026全国一卷 · 第 8 题 · 选择题

某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成如下的频率分布直方图：

15高考真题13分概率与统计★★★☆☆

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设

\hat{p}

为首次故障时间小于 365 天的概率估计值。

（i）求

\hat{p}

；

（ii）工厂向某用户销售 100 件电子元件，

X

为这 100 件产品首次出故障小于 365 天的件数，则

X \sim B(100, \hat{p})

，求

E(X)

D(X)

。

2026全国二卷 · 第 15 题 · 解答题

17高考真题15分概率与统计★★★★☆

设整数

N\geqslant 2

。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮

N

次，当且仅当投中

1

次时或

N

次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为

p

（

0<p<1

），各次投中与否相互独立。记

X

为停止练习时该同学的投篮次数。

（1）当

N=4

p=\dfrac{1}{3}

时，求

X

的分布列；

（2）设

k

m

均为自然数。

（i）当

k\leqslant N-1

时，求

P(X>k)

；

（ii）当

k+m\leqslant N-1

时，证明：

P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)

。

2026全国一卷 · 第 17 题 · 解答题

01高考真题5分概率与统计★☆☆☆☆

样本数据

2, 8, 14, 16, 20

的平均数为（）

8

9

12

18

2025全国二卷 · 第 1 题 · 选择题

14高考真题5分概率与统计★★★★☆

有

5

个相同的球, 分别标有数字

1, 2, 3, 4, 5

, 从中有放回地随机取

3

次, 每次取

1

个球。记

X

为这

5

个球中至少被取出

1

次的球的个数, 则

X

的数学期望

E(X) =

______。

2025全国一卷 · 第 14 题 · 填空题

14高考真题5分概率与统计★★★★☆

有

5

个相同的球，分别标有数字

1,2,3,4,5

，从中有放回地随机取

3

次，每次取

1

个球。记

X

为这

5

个球中至少被取出

1

次的球的个数，则

X

的数学期望

E(X)=

______。

2025全国一卷 · 第 14 题 · 填空题

为研究某疾病与超声波检查结果的关系, 从做过超声波检查的人群中随机调查了

15高考真题13分概率与统计★★★☆☆

1000

人, 得到如下列联表:

患该疾病：正常 20, 不正常 180, 合计 200
未患该疾病：正常 780, 不正常 20, 合计 800
合计：正常 800, 不正常 200, 总计 1000

(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为

p

, 求

p

的估计值;

(2) 根据小概率值

\alpha = 0.001

的独立性检验, 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

2025全国一卷 · 第 15 题 · 解答题

为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了

15高考真题13分概率与统计★★★☆☆

1000

人，得到如下列联表：

组别	超声波检查结果正常	超声波检查结果不正常	合计
患该疾病	$20$	$180$	$200$
未患该疾病	$780$	$20$	$800$
合计	$800$	$200$	$1000$

（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为

p

，求

p

的估计值；

（2）根据小概率值

\alpha=0.001

的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

附：

\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

$P(\chi^2\geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2025全国一卷 · 第 15 题 · 解答题

19高考真题17分概率与统计★★★★★

甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得

1

分, 负者得

0

分。设每个球甲胜的概率为

p

(

\frac{1}{2} < p < 1

), 乙胜的概率为

q

p + q = 1

, 且各球的胜负相互独立。对正整数

k \ge 2

, 记

p_k

为打完

k

个球后甲比乙至少多得

2

分的概率,

q_k

为打完

k

个球后乙比甲至少多得

2

分的概率。

(1) 求

p_3, p_4

(用

p

表示);

(2) 若

\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4

, 求

p

;

(3) 证明: 对任意正整数

m

p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}

。

2025全国二卷 · 第 19 题 · 解答题

某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加, 每人出场一次, 出场次序由随机抽签确定. 则丙不是第一个出场, 且甲或乙最后出场的概率是（）

04高考真题5分概率与统计★★☆☆☆

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

2024全国甲卷(文) · 第 4 题 · 选择题

某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻, 得到各块稻田的亩产量 (单位: kg) 并整理得下表:

04高考真题5分概率与统计★★☆☆☆

亩产量	[900, 950)	[950, 1000)	[1000, 1050)	[1050, 1100)	[1100, 1150)	[1150, 1200)
频数	6	12	18	30	24	10

根据表中数据, 下列结论中正确的是 ( )

100 块稻田亩产量的中位数小于 1050 kg

100 块稻田中亩产量低于 1100 kg 的稻田所占比例超过 80%

100 块稻田亩产量的极差介于 200 kg 至 300 kg 之间

100 块稻田亩产量的平均值介于 900 kg 至 1000 kg 之间

2024新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

随着“一带一路”国际合作的深入, 某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口. 为了解推动出口后的亩收入 (单位: 万元) 情况, 从该种植区抽取样本, 得到推动出口后亩收入的样本均值

09高考真题6分概率与统计★★★☆☆

\bar{x} = 2.1

, 样本方差

s^2 = 0.01

. 已知该种植区以往的亩收入

X

服从正态分布

N(1.8, 0.1^2)

, 假设推动出口后的亩收入

Y

服从正态分布

N(\bar{x}, s^2)

, 则 (若随机变量

Z

服从正态分布

N(\mu, \sigma^2)

, 则

P(Z < \mu + \sigma) \approx 0.8413

) ( )

P(X > 2) > 0.2

P(X > 2) < 0.5

P(Y > 2) > 0.5

P(Y > 2) < 0.8

2024新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

甲、乙两人各有四张卡片, 每张卡片上标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7, 乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8. 两人进行四轮比赛. 在每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片上数字的大小, 数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分, 然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的总得分不小于 2 的概率为 ______.

14高考真题5分概率与统计★★★★☆

2024新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

16高考真题5分概率与统计★★★★☆

有

6

个相同的球, 分别标有数字

1, 2, 3, 4, 5, 6

, 从中无放回地随机取

3

次, 每次取

1

个球. 设

m

为前两次取出的球上数字的平均值,

n

为取出的三个球上数字的平均值, 则

|m - n| \leqslant \dfrac{1}{2}

的概率为______.

2024全国甲卷(理) · 第 16 题 · 填空题

某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取

17高考真题12分概率与统计★★☆☆☆

150

件进行检验, 数据如下:

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	$26$	$24$	$0$	$50$
乙车间	$70$	$28$	$2$	$100$
总计	$96$	$52$	$2$	$150$

(1) 填写如下列联表:

	优级品	非优级品	合计
甲车间
乙车间
合计

能否有

95\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有

99\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率

p = 0.5

. 设

\hat{p}

为升级改造后抽取的

n

件产品的优级品率, 如果

\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的

150

件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (

\sqrt{150} \approx 12.247

)

附:

K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

$P(K^2 \geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2024全国甲卷(理) · 第 17 题 · 解答题

某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取

18高考真题12分概率与统计★★★☆☆

150

件进行检验, 数据如下:

	优级品	合格品	不合格品	总计
甲车间	$26$	$24$	$0$	$50$
乙车间	$70$	$28$	$2$	$100$
总计	$96$	$52$	$2$	$150$

(1) 填写如下列联表:

	优级品	非优级品	合计
甲车间
乙车间
合计

能否有

95\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有

99\%

的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率

p = 0.5

. 设

\hat{p}

为升级改造后抽取的

n

件产品的优级品率, 如果

\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的

150

件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (

\sqrt{150} \approx 12.247

)

附:

K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

$P(K^2 \geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

2024全国甲卷(文) · 第 18 题 · 解答题

某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成. 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰; 若至少投中 1 次, 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 甲每次投中概率为

18高考真题17分概率与统计★★★☆☆

p

, 乙为

q

, 各次独立.

(1) 若

p = 0.4, q = 0.5

, 甲参加第一阶段, 求得分不少于 5 分的概率;

(2) 假设

0 < p < q

. ① 为使成绩为 15 分概率最大, 应选谁参加第一阶段? ② 为使成绩期望最大, 应选谁参加第一阶段?

2024新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

19高考真题17分数列★★★★★

m

为正整数, 数列

a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}

是公差不为

0

的等差数列, 若从中删去两项

a_i

和

a_j\ (i<j)

后剩余的

4m

项可被平均分为

m

组, 且每组的

4

个数都能构成等差数列, 则称数列

a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}

(i,j)

-可分数列.

(1) 写出所有的

(i,j)

1 \le i < j \le 6

, 使数列

a_1, a_2, \ldots, a_6

(i,j)

-可分数列;

(2) 当

m \ge 3

时, 证明: 数列

a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}

(2,13)

-可分数列;

(3) 从

1, 2, \ldots, 4m+2

中一次任取两个数

i

和

j\ (i<j)

, 记数列

a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}

(i,j)

-可分数列的概率为

P_m

, 证明:

P_m > \frac{1}{8}

.

2024新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

高一高二各 2 人共 4 人选 2 人, 2 人来自不同年级概率为（）

04高考真题5分概率与统计★☆☆☆☆

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

2023全国甲卷(文) · 第 4 题 · 选择题

05高考真题5分概率与统计★★☆☆☆

O

为平面直角坐标系的坐标原点, 在区域

\{(x, y) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}

内随机取一点, 记该点为

A

, 则直线

OA

的倾斜角不大于

\dfrac{\pi}{4}

的概率为（）

\dfrac{1}{8}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{2}

2023全国乙卷(理) · 第 5 题 · 选择题

的同学爱好滑冰或爱好滑雪。在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）

06高考真题5分概率与统计★★☆☆☆

某地的中学生中有

60\%

的同学爱好滑冰，

50\%

的同学爱好滑雪，

70\%

0.8

0.6

0.5

0.4

2023全国甲卷理科 · 第 6 题 · 选择题

07高考真题5分概率与统计★★☆☆☆

O

为坐标原点, 在区域

\{(x, y) \mid 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}

内随机取一点

A

, 则直线

OA

的倾斜角不大于

\frac{\pi}{4}

的概率为（）

\frac{1}{8}

\frac{1}{6}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

2023全国乙卷(文) · 第 7 题 · 选择题

个主题, 每位参赛同学从中随机抽取一个主题。则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（）

09高考真题5分概率与统计★☆☆☆☆

某学校举办作文比赛, 共设

6

\frac{5}{6}

\frac{2}{3}

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

2023全国乙卷(文) · 第 9 题 · 选择题

09高考真题6分概率与统计★★★☆☆

有一组样本数据

x_1, \cdots, x_6

, 其中

x_1

最小,

x_6

最大, 则（）

x_2,x_3,x_4,x_5

的平均数等于

x_1,\cdots,x_6

的平均数

x_2,x_3,x_4,x_5

的中位数等于

x_1,\cdots,x_6

的中位数

x_2,x_3,x_4,x_5

的标准差不小于

x_1,\cdots,x_6

的标准差

x_2,x_3,x_4,x_5

的极差不大于

x_1,\cdots,x_6

的极差

2023新高考I卷 · 第 9 题 · 多选题