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02高考真题5分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b} 满足 ∣a⃗+b⃗∣=1|\vec{a}+\vec{b}| = 1，∣a⃗−b⃗∣=3|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{3}，则 a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
14\frac{1}{4}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
−14-\frac{1}{4}

2026全国二卷 · 第 2 题 · 选择题

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02高考真题5分平面向量★☆☆☆☆
已知平面向量 a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b} 不共线，且 2a⃗+yb⃗=xa⃗−3b⃗2\vec{a}+y\vec{b}=x\vec{a}-3\vec{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026全国一卷 · 第 2 题 · 选择题

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14高考真题5分平面向量★★★★☆
已知 ∣a⃗∣=a⃗⋅b⃗=1|\vec{a}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1，∣b⃗∣>1|\vec{b}| > 1，记 c⃗=λa⃗+μb⃗\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}。当 a⃗+b⃗−c⃗=0⃗\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \vec{0} 时，λ+μ=\lambda + \mu = ______，当 ∣a⃗+b⃗−c⃗∣=1|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = 1 时，λ+μ\lambda + \mu 的取值范围为 ______。

2026天津卷 · 第 14 题 · 填空题

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16高考真题15分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}。
（1）求 cos⁡A\cos A；
（2）设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE∥BCDE\parallel BC，AE⊥ADAE\perp AD。若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE。

2026全国一卷 · 第 16 题 · 解答题

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06高考真题5分平面向量★★★★☆
帆船比赛中, 运动员可借助风力计测定风速的大小与方向, 测出的结果在航海学中称为视风风速。视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和, 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反。
已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2 所示, 则该时刻的真风为 （ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025全国一卷 · 第 6 题 · 选择题

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06高考真题5分平面向量★★★☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速。视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反。图 1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2 所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025全国一卷 · 第 6 题 · 选择题

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10高考真题4分平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中, ∣OA→∣=∣OB→∣=2|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = \sqrt{2}, ∣AB→∣=2|\overrightarrow{AB}| = 2, 设 C(3,4)C(3, 4), 则 ∣2CA→+AB→∣|2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| 的取值范围是 （ ）
A.
[6,14][6, 14]
B.
[6,12][6, 12]
C.
[8,14][8, 14]
D.
[8,12][8, 12]

2025北京卷 · 第 10 题 · 选择题

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12高考真题5分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a⃗=(x,1)\vec{a} = (x, 1), b⃗=(x−1,2x)\vec{b} = (x - 1, 2x), 若 a⃗⊥(a⃗−b⃗)\vec{a} \perp (\vec{a} - \vec{b}), 则 ∣a⃗∣=|\vec{a}| =______。

2025全国二卷 · 第 12 题 · 填空题

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12高考真题4分平面向量★★★★★
已知 f(x)={1,x>0,0,x=0,−1,x<0,f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0, \end{cases} 向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} 是平面内三个不同的单位向量, 若 f(a⃗⋅b⃗)+f(b⃗⋅c⃗)+f(c⃗⋅a⃗)=0f(\vec{a} \cdot \vec{b}) + f(\vec{b} \cdot \vec{c}) + f(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0, 则 ∣a⃗+b⃗+c⃗∣|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| 的取值范围是______。

2025上海卷 · 第 12 题 · 填空题

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14高考真题5分平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, AD→=12AB→\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, CE→=13CD→\overrightarrow{CE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}。记 AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}, AC→=b⃗\overrightarrow{AC} = \vec{b}, 用 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 表示 AE→=\overrightarrow{AE} =______; 若 ∣AE→∣=5|\overrightarrow{AE}| = 5, 且 AE⊥BCAE \perp BC, 则 AE→⋅CD→=\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CD} =______。

2025天津卷 · 第 14 题 · 填空题

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03高考真题5分平面向量★★☆☆☆
设向量 a⃗=(x+1,x)\vec{a} = (x + 1, x), b⃗=(x,2)\vec{b} = (x, 2), c⃗=(1,1)\vec{c} = (1, 1), 若 a⃗−2b⃗\vec{a} - 2\vec{b} 与 c⃗\vec{c} 共线, 则 x=x = （ ）
A.
52\dfrac{5}{2}
B.
12\dfrac{1}{2}
C.
−12-\dfrac{1}{2}
D.
−52-\dfrac{5}{2}

2024全国甲卷(文) · 第 3 题 · 选择题

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03高考真题5分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} 满足 ∣a⃗∣=1,∣a⃗+2b⃗∣=2|\vec{a}| = 1, |\vec{a} + 2\vec{b}| = 2, 且 (b⃗−2a⃗)⋅b⃗=0(\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot \vec{b} = 0, 则 ∣b⃗∣=|\vec{b}| = ( )
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
1

2024新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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03高考真题5分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a⃗=(0,1)\vec{a}=(0,1), b⃗=(2,x)\vec{b}=(2,x), 若 b⃗⊥(b⃗−4a⃗)\vec{b} \perp (\vec{b}-4\vec{a}), 则 x=()x = ( )
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2024新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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05高考真题5分集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} 是向量, 则“(a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)=0(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0”是“a⃗=−b⃗\vec{a} = -\vec{b} 或 a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b}”的 ()(\quad)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2024北京卷 · 第 5 题 · 选择题

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09高考真题5分平面向量★★★☆☆
设向量 a⃗=(x+1,x)\vec{a} = (x + 1, x), b⃗=(x,2)\vec{b} = (x, 2), 则 （ ）
A.
x=−3x = -3 是 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} 的必要条件
B.
x=1+3x = 1 + \sqrt{3} 是 a⃗∥b⃗\vec{a} \parallel \vec{b} 的必要条件
C.
x=0x = 0 是 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} 的充分条件
D.
x=−1+3x = -1 + \sqrt{3} 是 a⃗∥b⃗\vec{a} \parallel \vec{b} 的充分条件

2024全国甲卷(理) · 第 9 题 · 选择题

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02高考真题4分平面向量★☆☆☆☆
若向量 a⃗=(−2,3)\vec{a} = (-2, 3), b⃗=(1,2)\vec{b} = (1, 2), 则 a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} =______.

2023上海卷 · 第 2 题 · 填空题

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03高考真题5分平面向量★☆☆☆☆
a⃗=(3,1)\vec{a} = (3, 1), b⃗=(2,2)\vec{b} = (2, 2), cos⁡⟨a⃗+b⃗,a⃗−b⃗⟩=\cos\langle\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}\rangle = （ ）
A.
117\frac{1}{17}
B.
1717\frac{\sqrt{17}}{17}
C.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
D.
255\frac{2\sqrt{5}}{5}

2023全国甲卷(文) · 第 3 题 · 选择题

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03高考真题4分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} 满足 a⃗+b⃗=(2,3)\vec{a} + \vec{b} = (2, 3), a⃗−b⃗=(−2,1)\vec{a} - \vec{b} = (-2, 1), 则 ∣a⃗∣2−∣b⃗∣2=|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = （ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
00
D.
11

2023北京卷 · 第 3 题 · 选择题

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03高考真题5分平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a⃗=(1,1)\vec{a} = (1, 1), b⃗=(1,−1)\vec{b} = (1, -1)。若 (a⃗+λb⃗)⊥(a⃗+μb⃗)(\vec{a} + \lambda\vec{b}) \perp (\vec{a} + \mu\vec{b}), 则 （ ）
A.
λ+μ=1\lambda + \mu = 1
B.
λ+μ=−1\lambda + \mu = -1
C.
λμ=1\lambda\mu = 1
D.
λμ=−1\lambda\mu = -1

2023新高考I卷 · 第 3 题 · 选择题

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04高考真题5分平面向量★★★☆☆
已知向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} 满足 ∣a⃗∣=∣b⃗∣=1\lvert\vec{a}\rvert=\lvert\vec{b}\rvert=1，∣c⃗∣=2\lvert\vec{c}\rvert=\sqrt{2}，且 a⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}，则 cos⁡⟨a⃗−c⃗,b⃗−c⃗⟩=\cos\langle\vec{a}-\vec{c},\vec{b}-\vec{c}\rangle=（ ）
A.
−45-\dfrac{4}{5}
B.
−25-\dfrac{2}{5}
C.
25\dfrac{2}{5}
D.
45\dfrac{4}{5}

2023全国甲卷理科 · 第 4 题 · 选择题

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06高考真题5分平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22, EE 为 ABAB 的中点, 则 EC→⋅ED→=\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{ED} = （ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
33
C.
252\sqrt{5}
D.
55

2023全国乙卷(文) · 第 6 题 · 选择题

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
已知 ⊙O\odot O 的半径为 11, 直线 PAPA 与 ⊙O\odot O 相切于点 AA, 直线 PBPB 与 ⊙O\odot O 交于 B,CB, C 两点, DD 为 BCBC 的中点, 若 ∣PO∣=2|PO| = \sqrt{2}, 则 PA→⋅PD→\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD} 的最大值为 （ ）
A.
12+22\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}
B.
12+2\dfrac{1}{2} + \sqrt{2}
C.
1+21 + \sqrt{2}
D.
2+22 + \sqrt{2}

2023全国乙卷(理) · 第 12 题 · 选择题

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13高考真题5分平面向量★★☆☆☆
向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} 满足 ∣a⃗−b⃗∣=3|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}, ∣a⃗+b⃗∣=∣2a⃗−b⃗∣|\vec{a} + \vec{b}| = |2\vec{a} - \vec{b}|, 则 ∣b⃗∣=|\vec{b}| =______。

2023新高考II卷 · 第 13 题 · 填空题

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14高考真题5分平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, DD 在 BCBC 上, BD=2DCBD = 2DC, AB→=a⃗,AC→=b⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{AC} = \vec{b}, 则 AD→=\overrightarrow{AD} =______。

2023天津卷 · 第 14 题 · 填空题

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03高考真题5分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} 满足 ∣a⃗∣=1|\vec{a}| = 1, ∣b⃗∣=3|\vec{b}| = \sqrt{3}, ∣a⃗−2b⃗∣=3|\vec{a} - 2\vec{b}| = 3, 则 a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} = （ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2022全国乙卷(理) · 第 3 题 · 选择题

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