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07高考真题5分解析几何★★★☆☆
已知圆 x2+(y+2)2=r2x^2+(y+2)^2=r^2（r>0r>0）上到直线 y=3x+2y=\sqrt{3}x+2 的距离为 11 的点有且仅有两个，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,3)(1,3)
C.
(3,+∞)(3,+\infty)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2025全国一卷 · 第 7 题 · 选择题

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08高考真题5分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (ω>0,−π<φ<π\omega > 0, -\pi < \varphi < \pi) 在区间 [−5π12,π12]\left[-\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right] 上单调递增, 直线 x=π12x = \frac{\pi}{12} 为曲线 y=f(x)y = f(x) 的一条对称轴, 点 (π3,0)\left(\frac{\pi}{3}, 0\right) 为曲线 y=f(x)y = f(x) 的一个对称中心, 则 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的最小值为 （ ）
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
−1-1
D.
00

2025天津卷 · 第 8 题 · 选择题

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08高考真题4分三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωx+cos⁡ωxf(x) = \sin\omega x + \cos\omega x (ω>0\omega > 0), 若 f(x+π)=f(x)f(x + \pi) = f(x) 恒成立, 且 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 上存在零点, 则 ω\omega 的最小值为 （ ）
A.
88
B.
66
C.
44
D.
33

2025北京卷 · 第 8 题 · 选择题

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08高考真题5分三角函数★★★☆☆
已知 0<α<π0 < \alpha < \pi, cos⁡α2=55\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}, 则 sin⁡(α−π4)=\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = （ ）
A.
210\frac{\sqrt{2}}{10}
B.
25\frac{\sqrt{2}}{5}
C.
3210\frac{3\sqrt{2}}{10}
D.
7210\frac{7\sqrt{2}}{10}

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08高考真题4分不等式★★★☆☆
设 a,b>0a, b > 0, 若 a+1b=1a + \frac{1}{b} = 1, 则 b+1ab + \frac{1}{a} 的最小值为______。

2025上海卷 · 第 8 题 · 填空题

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09高考真题4分指数函数与对数函数★★★☆☆
在一定条件下, 某人工智能大语言模型训练 NN 个单位的数据量所需要的时间 T=klog⁡2NT = k\log_2 N (单位: h), 其中 kk 为常数。在此条件下, 已知训练数据量 NN 从 10610^6 个单位增加到 1.024×1091.024 \times 10^9 个单位时, 训练时间增加 2020 h; 当训练数据量 NN 从 1.024×1091.024 \times 10^9 个单位增加到 4.096×1094.096 \times 10^9 个单位时, 训练时间增加 （ ）
A.
22 h
B.
44 h
C.
2020 h
D.
4040 h

2025北京卷 · 第 9 题 · 选择题

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09高考真题6分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, qq 为 {an}\{a_n\} 的公比, q>0q > 0。若 S3=7S_3 = 7, a3=1a_3 = 1, 则 （ ）
A.
q=12q = \frac{1}{2}
B.
a5=19a_5 = \frac{1}{9}
C.
S5=8S_5 = 8
D.
an+Sn=8a_n + S_n = 8

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09高考真题6分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中, DD 为 BCBC 的中点, 则 （ ）
A.
AD⊥A1CAD \perp A_1C
B.
B1C1⊥B_1C_1 \perp 平面 AA1DAA_1D
C.
AD∥A1B1AD \parallel A_1B_1
D.
CC1∥CC_1 \parallel 平面 AA1DAA_1D

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09高考真题6分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，DD 为 BCBC 的中点，则（ ）
A.
AD⊥A1CAD\perp A_1C
B.
B1C1⊥B_1C_1\perp 平面 AA1DAA_1D
C.
AD∥A1B1AD\parallel A_1B_1
D.
CC1∥CC_1\parallel 平面 AA1DAA_1D

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12高考真题5分解析几何★★★☆☆
若直线 x−y+6=0x - y + 6 = 0 与 xx 轴交于点 AA, 与 yy 轴交于点 BB, 与圆 (x+1)2+(y−3)2=r2(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2 (r>0r > 0) 交于 C,DC, D 两点, 且 ∣AB∣=3∣CD∣|AB| = 3|CD|, 则 r=r =______。

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12高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
若直线 y=2x+5y = 2x + 5 是曲线 y=ex+x+ay = e^x + x + a 的一条切线, 则 a=a = ______。

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12高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
若直线 y=2x+5y=2x+5 是曲线 y=ex+x+ay=e^x+x+a 的一条切线，则 a=a= ______。

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13高考真题5分概率与统计★★★☆☆
小颖同学去某健康主题公园沿环形步道跑步锻炼, 每周两次, 每次跑五圈或六圈, 每周第一次跑五圈和六圈的概率都是 0.50.5。若第一次跑了五圈, 则第二次跑五圈和六圈的概率分别为 0.40.4 和 0.60.6; 若第一次跑了六圈, 则第二次跑五圈和六圈的概率分别为 0.60.6 和 0.40.4。小颖同学一周共跑十一圈的概率为______; 当小颖同学在一周内跑步不少于十一圈时, 则认为这一周运动量合格。假设各周之间跑步圈数互不影响, 在 44 周的跑步锻炼中, 以 XX 表示小颖同学运动量合格的周数, 则 XX 的数学期望为______。

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13高考真题5分数列★★★☆☆
若一个等比数列的各项均为正数, 且前 44 项的和等于 44, 前 88 项的和等于 6868, 则这个数列的公比等于 ______。

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13高考真题5分数列★★★☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前 44 项的和等于 44，前 88 项的和等于 6868，则这个数列的公比等于 ______。

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14高考真题5分平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, AD→=12AB→\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, CE→=13CD→\overrightarrow{CE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}。记 AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}, AC→=b⃗\overrightarrow{AC} = \vec{b}, 用 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 表示 AE→=\overrightarrow{AE} =______; 若 ∣AE→∣=5|\overrightarrow{AE}| = 5, 且 AE⊥BCAE \perp BC, 则 AE→⋅CD→=\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CD} =______。

2025天津卷 · 第 14 题 · 填空题

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
一个底面半径为 44 cm, 高为 99 cm 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计) 内有两个半径相等的铁球, 则铁球半径的最大值为______cm。

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15高考真题13分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x) = \cos(2x + \varphi) (0≤φ<π0 \le \varphi < \pi), f(0)=12f(0) = \frac{1}{2}。
(1) 求 φ\varphi;
(2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x) = f(x) + f\left(x - \frac{\pi}{6}\right), 求 g(x)g(x) 的值域和单调区间。

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15高考真题4分解析几何★★★☆☆
已知点 A(0,1)A(0, 1), B(1,2)B(1, 2), 若动点 CC 在曲线 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 (x≥1,y≥0x \ge 1, y \ge 0) 上, 则 △ABC\triangle ABC 的面积 （ ）
A.
有最大值, 无最小值
B.
无最大值, 有最小值
C.
有最大值, 有最小值
D.
无最大值, 无最小值

2025上海卷 · 第 15 题 · 选择题

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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系, 从做过超声波检查的人群中随机调查了 10001000 人, 得到如下列联表:
  • 患该疾病：正常 20, 不正常 180, 合计 200
  • 未患该疾病：正常 780, 不正常 20, 合计 800
  • 合计：正常 800, 不正常 200, 总计 1000
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp, 求 pp 的估计值;
(2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验, 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

2025全国一卷 · 第 15 题 · 解答题

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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 10001000 人，得到如下列联表：
组别超声波检查结果正常超声波检查结果不正常合计
患该疾病2020180180200200
未患该疾病7807802020800800
合计80080020020010001000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值；
（2）根据小概率值 α=0.001\alpha=0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，
P(χ2⩾k)P(\chi^2\geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
kk3.8413.8416.6356.63510.82810.828

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, 角 A,B,CA, B, C 所对的边分别为 a,b,ca, b, c。已知 asin⁡B=3bcos⁡Aa\sin B = \sqrt{3}b\cos A, c−2b=1c - 2b = 1, a=7a = \sqrt{7}。
(1) 求角 AA 的大小;
(2) 求 cc 的值;
(3) 求 sin⁡(A+2B)\sin(A + 2B) 的值。

2025天津卷 · 第 16 题 · 解答题

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, cos⁡A=−13\cos A = -\frac{1}{3}, asin⁡C=42a\sin C = 4\sqrt{2}。
(1) 求 cc 的值;
(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC\triangle ABC 存在, 求 BCBC 边上的高。
条件①: a=6a = 6; 条件②: asin⁡B=1023a\sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}; 条件③: △ABC\triangle ABC 的面积为 10210\sqrt{2}。

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17高考真题14分概率与统计★★★☆☆
2024 年东京奥运会, 中国获得了男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力金牌, 以下是历届奥运会男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力项目冠军成绩(单位: 秒), 数据按照升序排列:
206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93206.78 \quad 207.46 \quad 207.95 \quad 209.34 \quad 209.35 \quad 210.68 \quad 213.73 \quad 214.84 \quad 216.93 \quad 216.93
(1) 求这组数据的极差与中位数;
(2) 从这 1010 个数据中任选 33 个, 求恰有 22 个数据大于 211211 的概率;
(3) 若比赛成绩 yy 关于年份 xx 的回归方程为 y^=−0.311x+b^\hat{y} = -0.311x + \hat{b}, 年份 xx 的平均数为 20062006, 请预测 20282028 年男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力项目冠军队的成绩。(结果精确到 0.010.01 秒)

2025上海卷 · 第 17 题 · 解答题

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某次考试中, 只有一道单项选择题考查了某个知识点, 甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况, 随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100100 名学生该题的答题数据, 其中甲校学生选择正确的人数为 8080, 乙校学生选择正确的人数为 7575。假设学生之间答题相互独立。用频率估计概率。
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 pp;
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取 11 名。设 XX 为这 22 名学生中该题选择正确的人数, 估计 X=1X = 1 的概率及 XX 的数学期望;
(3) 假设: 如果没有掌握该知识点, 学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案; 如果掌握该知识点, 甲校学生选择正确的概率为 100%100\%, 乙校学生选择正确的概率为 85%85\%。设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 p1,p2p_1, p_2, 判断 p1p_1 与 p2p_2 的大小。(结论不要求证明)

2025北京卷 · 第 18 题 · 解答题

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