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11高考真题6分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=2x3−3ax2+1f(x) = 2x^3 - 3ax^2 + 1, 则 ( )
A.
当 a>1a > 1 时, f(x)f(x) 有三个零点
B.
当 a<0a < 0 时, x=0x = 0 是 f(x)f(x) 的极大值点
C.
存在 a,ba, b, 使得 x=bx = b 为曲线 y=f(x)y = f(x) 的对称轴
D.
存在 aa, 使得点 (1,f(1))(1, f(1)) 为曲线 y=f(x)y = f(x) 的对称中心

2024新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

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12高考真题5分解析几何★★★☆☆
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2F_1, F_2, 过 F2F_2 作平行于 yy 轴的直线交 CC 于 A,BA, B 两点. 若 ∣F1A∣=13|F_1A|=13, ∣AB∣=10|AB|=10, 则 CC 的离心率为 ______.

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13高考真题5分计数原理与组合数学★★★☆☆
(13+x)10(\dfrac{1}{3} + x)^{10} 的展开式中, 各项系数中的最大值为______.

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13高考真题5分三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第一象限角, β\beta 为第三象限角, tan⁡α+tan⁡β=4,tan⁡αtan⁡β=2+1\tan \alpha + \tan \beta = 4, \tan \alpha \tan \beta = \sqrt{2} + 1, 则 sin⁡(α+β)=\sin(\alpha + \beta) =______.

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13高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy = e^x + x 在点 (0,1)(0,1) 处的切线也是曲线 y=ln⁡(x+1)+ay = \ln(x+1) + a 的切线, 则 $a = ______.

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲、乙的上底面半径均为 r1r_1, 下底面半径均为 r2r_2, 圆台甲、乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2 - r_1), 3(r2−r1)3(r_2 - r_1), 则圆台甲与乙的体积之比为______.

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲、乙的上底面半径均为 r1r_1, 下底面半径均为 r2r_2, 圆台甲、乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2 - r_1), 3(r2−r1)3(r_2 - r_1), 则圆台甲与乙的体积之比为______.

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15高考真题5分指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 a>1a > 1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a} - \dfrac{1}{\log_a 4} = -\dfrac{5}{2}, 则 a=a =______.

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15高考真题5分指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 a>1a > 1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a} - \dfrac{1}{\log_a 4} = -\dfrac{5}{2}, 则 a=a =______.

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15高考真题13分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C = \sqrt{2} \cos B, a2+b2−c2=2aba^2+b^2-c^2 = \sqrt{2}ab. (1) 求 BB; (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt{3}, 求 cc.

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16高考真题15分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x) = e^x - ax - a^3.
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 有极小值, 且极小值小于 0, 求 aa 的取值范围.

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17高考真题12分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 已知 2Sn=3an+1−32S_n = 3a_{n+1} - 3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式;
(2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

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18高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150150 件进行检验, 数据如下:
优级品合格品不合格品总计
甲车间26262424005050
乙车间7070282822100100
总计9696525222150150
(1) 填写如下列联表:
优级品非优级品合计
甲车间
乙车间
合计
能否有 95%95\% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有 99%99\% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p = 0.5. 设 p^\hat{p} 为升级改造后抽取的 nn 件产品的优级品率, 如果 p^>p+1.65p(1−p)n\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150150 件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (150≈12.247\sqrt{150} \approx 12.247)
附: K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},
P(K2⩾k)P(K^2 \geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
kk3.8413.8416.6356.63510.82810.828

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18高考真题12分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 已知 4Sn=3an+44S_n = 3a_n + 4. (1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式; (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n = (-1)^{n-1} n a_n, 求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成. 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰; 若至少投中 1 次, 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 甲每次投中概率为 pp, 乙为 qq, 各次独立.
(1) 若 p=0.4,q=0.5p = 0.4, q = 0.5, 甲参加第一阶段, 求得分不少于 5 分的概率;
(2) 假设 0<p<q0 < p < q. ① 为使成绩为 15 分概率最大, 应选谁参加第一阶段? ② 为使成绩期望最大, 应选谁参加第一阶段?

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22高考真题10分解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中, 以坐标原点为极点, xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho = \rho\cos\theta + 1.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程;
(2) 设直线 ll: {x=ty=t+a\begin{cases} x = t \\ y = t + a \end{cases} (tt 为参数), 若 CC 与 ll 相交于 A,BA, B 两点, 且 ∣AB∣=2|AB| = 2, 求 aa.

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22高考真题10分解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中, 以坐标原点为极点, xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho = \rho\cos\theta + 1. (1) 写出 CC 的直角坐标方程; (2) 设直线 l:{x=ty=t+al: \begin{cases} x = t \\ y = t + a \end{cases} (tt 为参数), 若 CC 与 ll 相交于 A,BA, B 两点, 且 ∣AB∣=2|AB| = 2, 求 aa.

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23高考真题10分不等式★★★☆☆
已知实数 a,ba, b 满足 a+b⩾3a + b \geqslant 3.
(1) 证明: 2a2+2b2>a+b2a^2 + 2b^2 > a + b;
(2) 证明: ∣a−2b2∣+∣b−2a2∣⩾6|a - 2b^2| + |b - 2a^2| \geqslant 6.

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04高考真题5分平面向量★★★☆☆
已知向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} 满足 ∣a⃗∣=∣b⃗∣=1\lvert\vec{a}\rvert=\lvert\vec{b}\rvert=1，∣c⃗∣=2\lvert\vec{c}\rvert=\sqrt{2}，且 a⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}，则 cos⁡⟨a⃗−c⃗,b⃗−c⃗⟩=\cos\langle\vec{a}-\vec{c},\vec{b}-\vec{c}\rangle=（ ）
A.
−45-\dfrac{4}{5}
B.
−25-\dfrac{2}{5}
C.
25\dfrac{2}{5}
D.
45\dfrac{4}{5}

2023全国甲卷理科 · 第 4 题 · 选择题

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05高考真题5分解析几何★★★☆☆
椭圆 C:x23+y2=1C: \frac{x^2}{3} + y^2 = 1, y=x+my = x + m 交 CC 于 A,BA,B, 若 △F1AB\triangle F_1AB 面积是 △F2AB\triangle F_2AB 的 2 倍, 则 m=m = （ ）
A.
23\frac{2}{3}
B.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
C.
−23-\frac{\sqrt{2}}{3}
D.
−23-\frac{2}{3}

2023新高考II卷 · 第 5 题 · 选择题

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06高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
已知 f(x)=aex−ln⁡xf(x) = ae^x - \ln x 在 (1,2)(1,2) 单调递增, 则 aa 的最小值为 （ ）
A.
e2e^2
B.
ee
C.
e−1e^{-1}
D.
e−2e^{-2}

2023新高考II卷 · 第 6 题 · 选择题

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06高考真题5分解析几何★★★☆☆
过点 (0,−2)(0, -2) 与圆 x2+y2−4x−1=0x^2 + y^2 - 4x - 1 = 0 相切的两条直线的夹角为 α\alpha, 则 sin⁡α=\sin\alpha = （ ）
A.
11
B.
154\frac{\sqrt{15}}{4}
C.
104\frac{\sqrt{10}}{4}
D.
64\frac{\sqrt{6}}{4}

2023新高考I卷 · 第 6 题 · 选择题

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07高考真题5分集合与逻辑基础★★★☆☆
设甲：sin⁡2α+sin⁡2β=1\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta=1，乙：sin⁡α+cos⁡β=0\sin\alpha+\cos\beta=0，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023全国甲卷理科 · 第 7 题 · 选择题

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07高考真题5分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 设甲: {an}\{a_n\} 为等差数列; 乙: {Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列, 则 （ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023新高考I卷 · 第 7 题 · 选择题

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08高考真题5分解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0) 的离心率为 5\sqrt{5}，CC 的一条渐近线与圆 (x−2)2+(y−3)2=1(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1 交于 A,BA,B 两点，则 ∣AB∣=|AB|=（ ）
A.
55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
B.
255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
C.
355\dfrac{3\sqrt{5}}{5}
D.
455\dfrac{4\sqrt{5}}{5}

2023全国甲卷理科 · 第 8 题 · 选择题

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