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20高考真题12分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x) = \left(\dfrac{1}{x} + a\right)\ln(1 + x)。
(1) 当 a=−1a = -1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若函数 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 单调递增, 求 aa 的取值范围。

2023全国乙卷(文) · 第 20 题 · 解答题

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22高考真题12分解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中, 以坐标原点 OO 为极点, xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1C_1 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho = 2\sin\theta (π4≤θ≤π2)\left(\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\right), 曲线 C2C_2: {x=2cos⁡αy=2sin⁡α\begin{cases} x = 2\cos\alpha \\ y = 2\sin\alpha \end{cases} (α\alpha 为参数, π2<α<π\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi)。
(1) 写出 C1C_1 的直角坐标方程;
(2) 若直线 y=x+my = x + m 既与 C1C_1 没有公共点, 也与 C2C_2 没有公共点, 求 mm 的取值范围。

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22高考真题12分解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中, 以坐标原点 OO 为极点, xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1C_1 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho = 2\sin\theta (π4≤θ≤π2)\left(\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\right), 曲线 C2C_2: {x=2cos⁡αy=2sin⁡α\begin{cases} x = 2\cos\alpha \\ y = 2\sin\alpha \end{cases} (α\alpha 为参数, π2<α<π\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi)。
(1) 写出 C1C_1 的直角坐标方程;
(2) 若直线 y=x+my = x + m 既与 C1C_1 没有公共点, 也与 C2C_2 没有公共点, 求 mm 的取值范围。

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22高考真题10分解析几何★★★☆☆
已知点 P(2,1)P(2,1)，直线 l:{x=2+tcos⁡αy=1+tsin⁡αl: \begin{cases} x=2+t\cos\alpha \\ y=1+t\sin\alpha \end{cases}（tt 为参数），α\alpha 为 ll 的倾斜角，ll 与 xx 轴正半轴、yy 轴正半轴分别交于点 A,BA,B，且 ∣PA∣⋅∣PB∣=4|PA|\cdot|PB|=4。
（1）求 α\alpha；
（2）以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 ll 的极坐标方程。

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23高考真题12分不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x) = 2|x| + |x - 2|。
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x) \le 6 - x 的解集;
(2) 在直角坐标系 xOyxOy 中, 求不等式组 {f(x)≤yx+y−6≤0\begin{cases} f(x) \le y \\ x + y - 6 \le 0 \end{cases} 所确定的平面区域的面积。

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23高考真题12分不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x) = 2|x| + |x - 2|。
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x) \le 6 - x 的解集;
(2) 在直角坐标系 xOyxOy 中, 求不等式组 {f(x)≤yx+y−6≤0\begin{cases} f(x) \le y \\ x + y - 6 \le 0 \end{cases} 所确定的平面区域的面积。

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23高考真题10分不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2|x-a|-a。
（1）求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集；
（2）若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 22，求 aa。

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04高考真题5分数列★★★☆☆
嫦娥二号卫星在完成探月任务后, 继续进行深空探测, 成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星. 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值, 用到数列 {bn}\{b_n\}:
b1=1+1α1,b2=1+1α1+1α2,b3=1+1α1+1α2+1α3, …b_1 = 1 + \frac{1}{\alpha_1},\quad b_2 = 1 + \frac{1}{\alpha_1 + \dfrac{1}{\alpha_2}},\quad b_3 = 1 + \frac{1}{\alpha_1 + \dfrac{1}{\alpha_2 + \dfrac{1}{\alpha_3}}},\ \ldots
依此类推, 其中 αk∈N∗\alpha_k \in \mathbb{N}^* (k=1,2,…k = 1, 2, \ldots). 则 （ ）
A.
b1<b5b_1 < b_5
B.
b3<b8b_3 < b_8
C.
b6<b2b_6 < b_2
D.
b4<b7b_4 < b_7

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07高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中, E,FE, F 分别为 AB,BCAB, BC 的中点, 则 （ ）
A.
平面 B1EF⊥B_1EF \perp 平面 BDD1BDD_1
B.
平面 B1EF⊥B_1EF \perp 平面 A1BDA_1BD
C.
平面 B1EF∥B_1EF \parallel 平面 A1ACA_1AC
D.
平面 B1EF∥B_1EF \parallel 平面 A1C1DA_1C_1D

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09高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知球 OO 的半径为 11, 四棱锥的顶点为 OO, 底面的四个顶点均在球 OO 的球面上, 则当该四棱锥的体积最大时, 其高为 （ ）
A.
13\dfrac{1}{3}
B.
12\dfrac{1}{2}
C.
33\dfrac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2022全国乙卷(理) · 第 9 题 · 选择题

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09高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，BCBC 的中点，则（ ）
A.
平面 B1EF⊥B_1EF \perp 平面 BDD1BDD_1
B.
平面 B1EF⊥B_1EF \perp 平面 A1BDA_1BD
C.
平面 B1EF∥B_1EF \parallel 平面 A1ACA_1AC
D.
平面 B1EF∥B_1EF \parallel 平面 A1C1DA_1C_1D

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09高考真题4分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱锥 P−ABCP-ABC 的六条棱长均为 6, SS 是 △ABC\triangle ABC 及其内部的点构成的集合, 设集合 T={Q∈S∣PQ⩽5}T = \{Q \in S \mid PQ \leqslant 5\}, 则 TT 表示的区域的面积为 （ ）
A.
3π4\dfrac{3\pi}{4}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
3π3\pi

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10高考真题5分概率与统计★★★☆☆
某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p1,p2,p3p_1, p_2, p_3, 且 p3>p2>p1>0p_3 > p_2 > p_1 > 0.
记该棋手连胜两盘的概率为 pp, 则 （ ）
A.
pp 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.
该棋手在第二盘与甲比赛, pp 最大
C.
该棋手在第二盘与乙比赛, pp 最大
D.
该棋手在第二盘与丙比赛, pp 最大

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10高考真题4分平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, AC=3,BC=4,∠C=90∘AC = 3, BC = 4, \angle C = 90^\circ。PP 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内的动点, 且 PC=1PC = 1, 则 PA⃗⋅PB⃗\vec{PA} \cdot \vec{PB} 的取值范围是 （ ）
A.
[−5,3][-5, 3]
B.
[−3,5][-3, 5]
C.
[−6,4][-6, 4]
D.
[−4,6][-4, 6]

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11高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1f(x) = \cos x + (x + 1)\sin x + 1 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 的最小值、最大值分别为（ ）
A.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
B.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
C.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2} + 2
D.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2} + 2

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12高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\dfrac{1}{3}
B.
12\dfrac{1}{2}
C.
33\dfrac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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14高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)={−ax+1,x<a,(x−2)2,x⩾a.f(x) = \begin{cases} -ax + 1, & x < a, \\ (x - 2)^2, & x \geqslant a. \end{cases} 若 f(x)f(x) 存在最小值, 则 aa 的一个取值为 ______;;a的最大值为______的最大值为 \_\_\_\_\_\_

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15高考真题5分三角函数★★★☆☆
记函数 f(x)=cos⁡(ωx+φ)f(x) = \cos(\omega x + \varphi) (ω>0\omega > 0, 0<φ<π0 < \varphi < \pi) 的最小正周期为 TT. 若 f(T)=32f(T) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, x=π9x = \dfrac{\pi}{9} 为 f(x)f(x) 的零点, 则 ω\omega 的最小值为 ______.

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15高考真题5分解析几何★★★☆☆
过四点 (0,0)(0, 0)，(4,0)(4, 0)，(−1,1)(-1, 1)，(4,2)(4, 2) 中的三点的一个圆的方程为 ______。

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15高考真题5分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数, 其前 nn 项和 SnS_n 满足 an⋅Sn=9 (n=1,2,…)a_n \cdot S_n = 9 \ (n = 1, 2, \ldots)。给出下列四个结论: ① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3; ② {an}\{a_n\} 为等比数列; ③ {an}\{a_n\} 为递减数列; ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项。 其中所有正确结论的序号是 ______$

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16高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=ln⁡∣a+11−x∣+bf(x) = \ln\left|a + \dfrac{1}{1 - x}\right| + b 是奇函数，则 a=a = ______，b=b = ______。

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17高考真题12分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c, 已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C \sin(A - B) = \sin B \sin(C - A)。
(1) 证明: 2a2=b2+c22a^2 = b^2 + c^2;
(2) 若 a=5a = 5, cos⁡A=2531\cos A = \dfrac{25}{31}, 求 △ABC\triangle ABC 的周长.

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17高考真题12分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C \sin(A - B) = \sin B \sin(C - A)。
(1) 若 A=2BA = 2B，求 CC；
(2) 证明：2a2=b2+c22a^2 = b^2 + c^2。

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17高考真题14分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中, 侧面 BCC1B1BCC_1B_1 为正方形, 平面 BCC1B1⊥BCC_1B_1 \perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1, AB=BC=2AB = BC = 2, M,NM, N 分别为 A1B1,ACA_1B_1, AC 的中点。 (1) 求证: MN∥MN \parallel 平面 BCC1B1BCC_1B_1; (2) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知, 求直线 ABAB 与平面 BMNBMN 所成角的正弦值。 条件①: AB⊥MNAB \perp MN; 条件②: BM=MNBM = MN。

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18高考真题12分立体几何初步★★★☆☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD \perp CD，AD=CDAD = CD，∠ADB=∠BDC\angle ADB = \angle BDC，EE 为 ACAC 的中点。
(1) 证明：平面 BED⊥BED \perp 平面 ACDACD；
(2) 设 AB=BD=2AB = BD = 2，∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ，点 FF 在 BDBD 上，当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时，求三棱锥 FF-ABCABC 的体积。

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