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16高考真题15分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 长轴长为 44。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 (0,−2)(0, -2) 的直线 ll 与 CC 交于 A,BA, B 两点, OO 为坐标原点。若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt{2}, 求 ∣AB∣|AB|。

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16高考真题4分数列★★★★☆
设 λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, 数列 {an}\{a_n\}, {bn}\{b_n\}, {cn}\{c_n\} 满足 an=10n−9a_n = 10n - 9, bn=2nb_n = 2n, cn=λan+(1−λ)bnc_n = \lambda a_n + (1 - \lambda) b_n。若对任意的 λ∈[0,1]\lambda \in [0, 1], an,bn,cna_n, b_n, c_n 均能作为三角形的三边长, 则满足条件的正整数 nn 有 （ ）
A.
11 个
B.
33 个
C.
44 个
D.
无穷多个

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16高考真题15分数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 中, a1=3,an+1n=ann+1+1n(n+1)a_1 = 3, \frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}。
(1) 证明: 数列 {nan}\{na_n\} 是等差数列;
(2) 给定正整数 mm, 设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \dots + a_mx^m, 求 f′(−2)f'(-2)。

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16高考真题15分数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 中，a1=3a_1=3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\dfrac{a_{n+1}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}。
（1）证明：数列 {nan}\{na_n\} 是等差数列；
（2）给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2)。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 44, E,FE, F 分别为 A1D1A_1D_1 和 B1C1B_1C_1 的中点, GG 在线段 CC1CC_1 上, 且 CG=3GC1CG = 3GC_1。
(1) 求证: GF⊥GF \perp 平面 EBFEBF;
(2) 求平面 EBFEBF 和平面 EBGEBG 夹角的余弦值;
(3) 求三棱锥 D−EBFD-EBF 的体积。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, △ADC\triangle ADC 与 △BAC\triangle BAC 均为等腰直角三角形, ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ, ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ, EE 为 BCBC 的中点。
(1) 若 F,GF, G 分别为 PD,PEPD, PE 的中点, 求证: FG∥FG \parallel 平面 PABPAB;
(2) 若 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD, PA=ACPA = AC, 求直线 ABAB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四边形 ABCDABCD 中, AB∥CDAB \parallel CD, ∠DAB=90∘\angle DAB = 90^\circ, FF 为 CDCD 的中点, 点 EE 在 ABAB 上, EF∥ADEF \parallel AD, AB=3ADAB = 3AD, CD=2ADCD = 2AD。将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A', 使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ。
(1) 证明: A′B∥A'B \parallel 平面 CD′FCD'F;
(2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值。

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17高考真题14分概率与统计★★★☆☆
2024 年东京奥运会, 中国获得了男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力金牌, 以下是历届奥运会男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力项目冠军成绩(单位: 秒), 数据按照升序排列:
206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93206.78 \quad 207.46 \quad 207.95 \quad 209.34 \quad 209.35 \quad 210.68 \quad 213.73 \quad 214.84 \quad 216.93 \quad 216.93
(1) 求这组数据的极差与中位数;
(2) 从这 1010 个数据中任选 33 个, 求恰有 22 个数据大于 211211 的概率;
(3) 若比赛成绩 yy 关于年份 xx 的回归方程为 y^=−0.311x+b^\hat{y} = -0.311x + \hat{b}, 年份 xx 的平均数为 20062006, 请预测 20282028 年男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力项目冠军队的成绩。(结果精确到 0.010.01 秒)

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, PA⊥PA \perp 底面 ABCD,AB⊥AD,BC∥ADABCD, AB \perp AD, BC \parallel AD。
(1) 证明: 平面 PAB⊥PAB \perp 平面 PADPAD;
(2) 设 PA=AB=2,BC=2,AD=1+3PA = AB = \sqrt{2}, BC = 2, AD = 1 + \sqrt{3}, 且点 P,B,C,DP, B, C, D 均在球 OO 的球面上。
① 证明: 点 OO 在平面 ABCDABCD 内;
② 求直线 ACAC 与 POPO 所成角的余弦值。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB\perp AD，BC∥ADBC\parallel AD。
（1）证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PADPAD；
（2）设 PA=AB=2PA=AB=\sqrt{2}，BC=2BC=2，AD=1+3AD=1+\sqrt{3}，且点 P,B,C,DP,B,C,D 均在球 OO 的球面上。
① 证明：点 OO 在平面 ABCDABCD 内；
② 求直线 ACAC 与 POPO 所成角的余弦值。

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18高考真题15分解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}, 左焦点为 FF, 右顶点为 AA, 点 PP 在直线 x=ax = a 上, 直线 FPFP 的斜率为 13\frac{1}{3}, △PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac{3}{2}。
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若过 PP 的直线与椭圆有唯一公共点 BB (BB 异于 AA), 求证: FPFP 平分 ∠AFB\angle AFB。

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某次考试中, 只有一道单项选择题考查了某个知识点, 甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况, 随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100100 名学生该题的答题数据, 其中甲校学生选择正确的人数为 8080, 乙校学生选择正确的人数为 7575。假设学生之间答题相互独立。用频率估计概率。
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 pp;
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取 11 名。设 XX 为这 22 名学生中该题选择正确的人数, 估计 X=1X = 1 的概率及 XX 的数学期望;
(3) 假设: 如果没有掌握该知识点, 学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案; 如果掌握该知识点, 甲校学生选择正确的概率为 100%100\%, 乙校学生选择正确的概率为 85%85\%。设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 p1,p2p_1, p_2, 判断 p1p_1 与 p2p_2 的大小。(结论不要求证明)

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3, 其中 0<k<130 < k < \frac{1}{3}。
(1) 证明: f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点;
(2) 设 x1,x2x_1, x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 的极值点和零点。
① 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t) = f(x_1 + t) - f(x_1 - t)。证明: g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0, x_1) 单调递减;
② 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小, 并证明你的结论。

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18高考真题14分立体几何初步★★★★☆
如图, 点 PP 是圆锥的顶点, 点 OO 是底面圆心, 底面直径 AB=2AB = 2。
(1) 若直线 PAPA 与圆锥底面所成角为 π3\frac{\pi}{3}, 求圆锥的侧面积;
(2) 若 QQ 是母线 PAPA 的中点, 点 CC、DD 在底面圆周上, AC^\widehat{AC} 弧长为 π3\frac{\pi}{3}, CD∥ABCD \parallel AB, 点 TT 在线段 OCOC 上, 求证: 直线 QT∥QT \parallel 平面 PBDPBD。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}, 下顶点为 AA, 右顶点为 B,∣AB∣=10B, |AB| = \sqrt{10}。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上, 点 RR 在射线 APAP 上, 且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3。
① 设 P(m,n)P(m,n), 求 RR 的坐标;
② 设 OO 为坐标原点, QQ 是 CC 上的动点, 直线 OROR 的斜率是直线 OPOP 的斜率的 33 倍, 求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 223\dfrac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB|=\sqrt{10}。
（1）求 CC 的方程；
（2）已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP|\cdot|AR|=3。
① 设 P(m,n)P(m,n)，求 RR 的坐标（用 m,nm,n 表示）；
② 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OQOQ 的斜率是直线 OPOP 的 33 倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值。

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19高考真题15分数列★★★★☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 和等比数列 {bn}\{b_n\} 满足 a1=b1=2a_1 = b_1 = 2, a2=b2+1a_2 = b_2 + 1, a3=b3a_3 = b_3。
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式;
(2) 给定 n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, 记集合 I={0,1}I = \{0, 1\}, 集合 Tn={p1a1b1+p2a2b2+⋯+pnanbn∣p1,p2,⋯ ,pn∈I}T_n = \{p_1a_1b_1 + p_2a_2b_2 + \cdots + p_na_nb_n \mid p_1, p_2, \cdots, p_n \in I\}。
① 求证: 对任意的 t∈Tnt \in T_n, 有 t<an+1bn+1t < a_{n+1}b_{n+1};
② 求 TnT_n 中所有元素之和。

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 椭圆 EE 上的点到两焦点的距离之和为 44。
(1) 求椭圆 EE 的方程;
(2) 设 OO 为坐标原点, 点 M(x0,y0)M(x_0, y_0) (x0≠0x_0 \ne 0) 在椭圆 EE 上, 直线 x0x+2y0y−4=0x_0x + 2y_0y - 4 = 0 与直线 y=2y = 2, y=−2y = -2 分别交于点 A,BA, B。设 △OAM\triangle OAM 和 △OBM\triangle OBM 的面积分别为 S1,S2S_1, S_2, 比较 S1S2\frac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\frac{|OA|}{|OB|} 的大小。

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19高考真题17分概率与统计★★★★★
甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 11 分, 负者得 00 分。设每个球甲胜的概率为 pp (12<p<1\frac{1}{2} < p < 1), 乙胜的概率为 qq, p+q=1p + q = 1, 且各球的胜负相互独立。对正整数 k≥2k \ge 2, 记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 22 分的概率, qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 22 分的概率。
(1) 求 p3,p4p_3, p_4 (用 pp 表示);
(2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4, 求 pp;
(3) 证明: 对任意正整数 mm, p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}。

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19高考真题14分导数及其应用★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbb{R}, f(x)=x2−(m+2)x+mln⁡xf(x) = x^2 - (m + 2)x + m \ln x。
(1) 若 f(1)=0f(1) = 0, 求不等式 f(x)≤x2−1f(x) \le x^2 - 1 的解集;
(2) 若 y=f(x)y = f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上存在极大值, 求 mm 的取值范围。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
(1) 求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x 在区间 [0,π4][0, \frac{\pi}{4}] 的最大值;
(2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi) 和 a∈Ra \in \mathbb{R}, 证明: 存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a-\theta, a+\theta] 使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta;
(3) 设 b∈Rb \in \mathbb{R}, 若存在 ϕ∈R\phi \in \mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+ϕ)≤b5\cos x - \cos(5x + \phi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbb{R} 恒成立, 求 bb 的最小值。

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19高考真题17分三角函数★★★★★
（1）求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x)=5\cos x-\cos 5x 在区间 [0,π4]\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] 的最大值；
（2）给定 θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi) 和 a∈Ra\in\mathbb{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y\in[a-\theta,a+\theta] 使得 cos⁡y⩽cos⁡θ\cos y\leqslant\cos\theta；
（3）设 b∈Rb\in\mathbb{R}，若存在 φ∈R\varphi\in\mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)⩽b5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b 对 x∈Rx\in\mathbb{R} 恒成立，求 bb 的最小值。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知 a∈Ra \in \mathbb{R}, 函数 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x) = ax - (\ln x)^2。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 有三个零点 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3, 且 x1<x2<x3x_1 < x_2 < x_3,
① 求 aa 的取值范围;
② 求证: (ln⁡x2−ln⁡x1)ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2 - \ln x_1)\ln x_3 < \frac{4e}{e - 1}。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域是 (−1,+∞)(-1, +\infty), f(0)=0f(0) = 0, 导函数 f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}。设 l1l_1 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(a,f(a))A(a, f(a)) (a≠0a \ne 0) 处的切线。
(1) 求 f′(x)f'(x) 的最大值;
(2) 当 −1<a<0-1 < a < 0 时, 证明: 除切点 AA 外, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在直线 l1l_1 的上方;
(3) 设过点 AA 的直线 l2l_2 与直线 l1l_1 垂直, l1,l2l_1, l_2 与 xx 轴交点的横坐标分别是 x1,x2x_1, x_2。若 a>0a > 0, 求 2a−x2−x1x2−x1\frac{2a - x_2 - x_1}{x_2 - x_1} 的取值范围。

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20高考真题14分解析几何★★★★★
设椭圆 Γ:x2a2+y25=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1 (a>5a > \sqrt{5}), 点 AA 为 Γ\Gamma 的右顶点, 点 M(0,m)M(0, m) (m>0m > 0)。
(1) 若 Γ\Gamma 的一个焦点是 (2,0)(2, 0), 求 Γ\Gamma 的离心率;
(2) 设 a=4a = 4, 椭圆 Γ\Gamma 上存在一点 PP 满足 PA→=2MP→\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{MP}, 求 mm 的值;
(3) 若线段 AMAM 的中垂线 ll 的斜率为 22, ll 与椭圆 Γ\Gamma 交于 CC、DD 两点, 且 ∠CMD\angle CMD 为钝角, 求 aa 的取值范围。

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