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16高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 x=x1x = x_1 和 x=x2x = x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x) = 2ax - e^{x^2} (a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1) 的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1 < x_2, 则 aa 的取值范围是 ______.

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16高考真题5分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=ln⁡∣a+11−x∣+bf(x) = \ln\left|a + \dfrac{1}{1 - x}\right| + b 是奇函数，则 a=a = ______，b=b = ______。

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16高考真题14分三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, sin⁡2C=3sin⁡C\sin 2C = \sqrt{3} \sin C。 (1) 求 ∠C\angle C; (2) 若 b=6b = 6, 且 △ABC\triangle ABC 的面积为 636\sqrt{3}, 求 △ABC\triangle ABC 的周长。

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17高考真题12分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c, 已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C \sin(A - B) = \sin B \sin(C - A)。
(1) 证明: 2a2=b2+c22a^2 = b^2 + c^2;
(2) 若 a=5a = 5, cos⁡A=2531\cos A = \dfrac{25}{31}, 求 △ABC\triangle ABC 的周长.

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17高考真题12分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C \sin(A - B) = \sin B \sin(C - A)。
(1) 若 A=2BA = 2B，求 CC；
(2) 证明：2a2=b2+c22a^2 = b^2 + c^2。

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17高考真题14分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中, 侧面 BCC1B1BCC_1B_1 为正方形, 平面 BCC1B1⊥BCC_1B_1 \perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1, AB=BC=2AB = BC = 2, M,NM, N 分别为 A1B1,ACA_1B_1, AC 的中点。 (1) 求证: MN∥MN \parallel 平面 BCC1B1BCC_1B_1; (2) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知, 求直线 ABAB 与平面 BMNBMN 所成角的正弦值。 条件①: AB⊥MNAB \perp MN; 条件②: BM=MNBM = MN。

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18高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 四面体 ABCDABCD 中, AD⊥CDAD \perp CD, AD=CDAD = CD, ∠ADB=∠BDC\angle ADB = \angle BDC, EE 为 ACAC 的中点。
(1) 证明: 平面 BED⊥BED \perp 平面 ACDACD;
(2) 设 AB=BD=2AB = BD = 2, ∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ, 点 FF 在 BDBD 上, 当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时, 求 CFCF 与平面 ABDABD 所成的角的正弦值。

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18高考真题12分立体几何初步★★★☆☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD \perp CD，AD=CDAD = CD，∠ADB=∠BDC\angle ADB = \angle BDC，EE 为 ACAC 的中点。
(1) 证明：平面 BED⊥BED \perp 平面 ACDACD；
(2) 设 AB=BD=2AB = BD = 2，∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ，点 FF 在 BDBD 上，当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时，求三棱锥 FF-ABCABC 的体积。

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18高考真题14分概率与统计★★☆☆☆
在校运动会上, 只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛, 比赛成绩达到 9.50 m 以上(含 9.50 m) 的同学将获得优秀奖, 为预测获得优秀奖的人数及冠军得主, 收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩, 并整理得到如下数据(单位: m): 甲: 9.80, 9.70, 9.55, 9.54, 9.48, 9.42, 9.40, 9.35, 9.30, 9.25 乙: 9.78, 9.56, 9.51, 9.36, 9.32, 9.23 丙: 9.85, 9.65, 9.20, 9.16 假设用频率估计概率, 且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立。 (1) 估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率; (2) 设 XX 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数, 估计 XX 的数学期望 EXEX; (3) 在校运动会铅球比赛中, 甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大? (结论不要求证明)

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19高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量, 随机选取了 1010 棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面积 (单位: m2\text{m}^2) 和材积量 (单位: m3\text{m}^3), 得到如下数据:
样本号 ii12345678910总和
根部横截面积 xix_i0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6
材积量 yiy_i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9
并计算得 ∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038, ∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158, ∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474。
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 (精确到 0.010.01);
(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积, 并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186 m2186\,\text{m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。
附: 相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}, 1.896≈1.377\sqrt{1.896} \approx 1.377。

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19高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2^2）和材积量（单位：m3^3），得到如下数据：
样本号 ii12345678910总和
根部横截面积 xix_i0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6
材积量 yiy_i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9
并计算得 ∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038，∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474。
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）；
(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186186 m2^2。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

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19高考真题14分解析几何★★★☆☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0,1)A(0, 1), 焦距为 232\sqrt{3}。 (1) 求椭圆 EE 的方程; (2) 过点 P(−2,1)P(-2, 1) 作斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 B,CB, C, 直线 AB,ACAB, AC 分别与 xx 轴交于点 M,NM, N。当 ∣MN∣=2|MN| = 2 时, 求 kk 的值。

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点, 对称轴为 xx 轴、yy 轴, 且过 A(0,−2)A(0, -2), B(32,−1)B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right) 两点。
(1) 求 EE 的方程;
(2) 设过点 P(1,−2)P(1, -2) 的直线交 EE 于 M,NM, N 两点, 过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT, 点 HH 满足 MT→=TH→\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}. 证明: 直线 HNHN 过定点。

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20高考真题12分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x) = ax - \dfrac{1}{x} - (a + 1)\ln x。
(1) 当 a=0a = 0 时，求 f(x)f(x) 的最大值；
(2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围。

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20高考真题14分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x) = e^x \ln(1 + x)。 (1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 设 g(x)=f′(x)g(x) = f'(x), 讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0, +\infty) 上的单调性; (3) 证明: 对任意的 s,t∈(0,+∞)s, t \in (0, +\infty), 有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s + t) > f(s) + f(t)。

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21高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x) = \ln(1 + x) + axe^{-x}。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1, 0), (0,+∞)(0, +\infty) 各恰有一个零点, 求 aa 的取值范围。

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴、yy 轴，且过 A(0,−2)A(0, -2)，B(32,−1)B\left(\dfrac{3}{2}, -1\right) 两点。
(1) 求 EE 的方程；
(2) 设过点 P(1,−2)P(1, -2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT→=TH→\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{TH}。证明：直线 HNHN 过定点。

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21高考真题14分数列★★★★☆
已知 Q:a1,a2,…,akQ: a_1, a_2, \ldots, a_k 为有穷整数数列, 给定正整数 mm, 若对任意的 n∈{1,2,…,m}n \in \{1, 2, \ldots, m\}, 在 QQ 中存在 ai,ai+1,ai+2,…,ai+j (j⩾0)a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{i+j} \ (j \geqslant 0), 使得 ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=na_i + a_{i+1} + a_{i+2} + \cdots + a_{i+j} = n, 则称为 mm-连续可表数列。 (1) 判断 Q:2,1,4Q: 2, 1, 4 是否为 5-连续可表数列? 是否为 6-连续可表数列? 说明理由; (2) 若 Q:a1,a2,…,akQ: a_1, a_2, \ldots, a_k 为 8-连续可表数列, 求证: kk 的最小值为 4; (3) 若 Q:a1,a2,…,akQ: a_1, a_2, \ldots, a_k 为 20-连续可表数列, a1+a2+⋯+ak<20a_1 + a_2 + \cdots + a_k < 20, 求证: k⩾7k \geqslant 7。

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22高考真题12分解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中, 曲线 CC 的参数方程为
{x=3cos⁡2ty=2sin⁡t(t 为参数).\begin{cases} x = \sqrt{3} \cos 2t \\ y = 2 \sin t \end{cases} \quad (t \text{ 为参数}).
以坐标原点为极点, xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 ll 的极坐标方程为
ρsin⁡(θ+π3)+m=0.\rho \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) + m = 0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程;
(2) 若 ll 与 CC 有公共点, 求 mm 的取值范围。

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22高考真题12分解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 {x=3cos⁡2t,y=2sin⁡t\begin{cases} x = \sqrt{3}\cos 2t, \\ y = 2\sin t \end{cases}（tt 为参数）。
以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) + m = 0。
(1) 写出 ll 的直角坐标方程；
(2) 若 ll 与 CC 有公共点，求 mm 的取值范围。

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23高考真题12分不等式★★★★☆
已知 a,b,ca, b, c 都是正数, 且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1, 证明:
(1) abc≤19abc \le \dfrac{1}{9};
(2) ab+c+ba+c+ca+b≤12abc\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \le \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}.

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23高考真题12分不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 都是正数，且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1，证明：
(1) abc⩽19abc \leqslant \dfrac{1}{9}；
(2) ab+c+ba+c+ca+b⩽12abc\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}。

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