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09高考真题6分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中, DD 为 BCBC 的中点, 则 （ ）
A.
AD⊥A1CAD \perp A_1C
B.
B1C1⊥B_1C_1 \perp 平面 AA1DAA_1D
C.
AD∥A1B1AD \parallel A_1B_1
D.
CC1∥CC_1 \parallel 平面 AA1DAA_1D

2025全国一卷 · 第 9 题 · 多选题

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09高考真题6分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，DD 为 BCBC 的中点，则（ ）
A.
AD⊥A1CAD\perp A_1C
B.
B1C1⊥B_1C_1\perp 平面 AA1DAA_1D
C.
AD∥A1B1AD\parallel A_1B_1
D.
CC1∥CC_1\parallel 平面 AA1DAA_1D

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10高考真题6分函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbb{R} 上的奇函数, 且当 x>0x > 0 时, f(x)=(x2−3)ex+2f(x) = (x^2 - 3)e^x + 2, 则 （ ）
A.
f(0)=0f(0) = 0
B.
当 x<0x < 0 时, f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x) = -(x^2 - 3)e^{-x} - 2
C.
f(x)≥2f(x) \ge 2 当且仅当 x≥3x \ge \sqrt{3}
D.
x=−1x = -1 是 f(x)f(x) 的极大值点

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10高考真题6分解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=6xC: y^2 = 6x 的焦点为 FF, 过 FF 的一条直线交 CC 于 A,BA, B 两点, 过 AA 作直线 l:x=−32l: x = -\frac{3}{2} 的垂线, 垂足为 DD, 过 FF 且与直线 ABAB 垂直的直线交 ll 于点 EE, 则 （ ）
A.
∣AD∣=∣AF∣|AD| = |AF|
B.
∣AE∣=∣AB∣|AE| = |AB|
C.
∣AB∣≥6|AB| \ge 6
D.
∣AE∣⋅∣BE∣≥18|AE| \cdot |BE| \ge 18

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10高考真题6分解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=6xC:y^2=6x 的焦点为 FF，过 FF 的一条直线交 CC 于 A,BA,B 两点，过 AA 作直线 l:x=−32l:x=-\dfrac{3}{2} 的垂线，垂足为 DD，过 FF 且与直线 ABAB 垂直的直线交 ll 于点 EE，则（ ）
A.
∣AD∣=∣AF∣|AD|=|AF|
B.
∣AE∣=∣AB∣|AE|=|AB|
C.
∣AB∣⩾6|AB|\geqslant 6
D.
∣AE∣⋅∣BE∣⩾18|AE|\cdot|BE|\geqslant 18

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11高考真题6分解析几何★★★★★
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2F_1, F_2, 左、右顶点分别为 A1,A2A_1, A_2, 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 M,NM, N 两点, 且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}, 则 （ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2 = \frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1| = 2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a = \sqrt{2} 时, 四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt{3}

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11高考真题6分三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 14\frac{1}{4}, cos⁡2A+cos⁡2B+2sin⁡C=2\cos 2A + \cos 2B + 2 \sin C = 2, cos⁡Acos⁡Bsin⁡C=14\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}, 则 （ ）
A.
sin⁡C=sin⁡2A+sin⁡2B\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B
B.
AB=2AB = \sqrt{2}
C.
sin⁡A+sin⁡B=62\sin A + \sin B = \frac{\sqrt{6}}{2}
D.
AC2+BC2=3AC^2 + BC^2 = 3

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11高考真题6分三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 14\dfrac{1}{4}，cos⁡2A+cos⁡2B+2sin⁡C=2\cos 2A+\cos 2B+2\sin C=2，cos⁡Acos⁡Bsin⁡C=14\cos A\cos B\sin C=\dfrac{1}{4}，则（ ）
A.
sin⁡C=sin⁡2A+sin⁡2B\sin C=\sin^2 A+\sin^2 B
B.
AB=2AB=\sqrt{2}
C.
sin⁡A+sin⁡B=62\sin A+\sin B=\dfrac{\sqrt{6}}{2}
D.
AC2+BC2=3AC^2+BC^2=3

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12高考真题5分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a⃗=(x,1)\vec{a} = (x, 1), b⃗=(x−1,2x)\vec{b} = (x - 1, 2x), 若 a⃗⊥(a⃗−b⃗)\vec{a} \perp (\vec{a} - \vec{b}), 则 ∣a⃗∣=|\vec{a}| =______。

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12高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
若直线 y=2x+5y = 2x + 5 是曲线 y=ex+x+ay = e^x + x + a 的一条切线, 则 a=a = ______。

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12高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
若直线 y=2x+5y=2x+5 是曲线 y=ex+x+ay=e^x+x+a 的一条切线，则 a=a= ______。

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13高考真题5分导数及其应用★★☆☆☆
若 x=2x = 2 是函数 f(x)=(x−1)(x−2)(x−a)f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - a) 的极值点, 则 f(0)=f(0) =______。

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13高考真题5分数列★★★☆☆
若一个等比数列的各项均为正数, 且前 44 项的和等于 44, 前 88 项的和等于 6868, 则这个数列的公比等于 ______。

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13高考真题5分数列★★★☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前 44 项的和等于 44，前 88 项的和等于 6868，则这个数列的公比等于 ______。

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14高考真题5分立体几何初步★★★☆☆
一个底面半径为 44 cm, 高为 99 cm 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计) 内有两个半径相等的铁球, 则铁球半径的最大值为______cm。

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14高考真题5分概率与统计★★★★☆
有 55 个相同的球, 分别标有数字 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5, 从中有放回地随机取 33 次, 每次取 11 个球。记 XX 为这 55 个球中至少被取出 11 次的球的个数, 则 XX 的数学期望 E(X)=E(X) = ______。

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14高考真题5分概率与统计★★★★☆
有 55 个相同的球，分别标有数字 1,2,3,4,51,2,3,4,5，从中有放回地随机取 33 次，每次取 11 个球。记 XX 为这 55 个球中至少被取出 11 次的球的个数，则 XX 的数学期望 E(X)=E(X)= ______。

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15高考真题13分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x) = \cos(2x + \varphi) (0≤φ<π0 \le \varphi < \pi), f(0)=12f(0) = \frac{1}{2}。
(1) 求 φ\varphi;
(2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x) = f(x) + f\left(x - \frac{\pi}{6}\right), 求 g(x)g(x) 的值域和单调区间。

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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系, 从做过超声波检查的人群中随机调查了 10001000 人, 得到如下列联表:
  • 患该疾病：正常 20, 不正常 180, 合计 200
  • 未患该疾病：正常 780, 不正常 20, 合计 800
  • 合计：正常 800, 不正常 200, 总计 1000
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp, 求 pp 的估计值;
(2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验, 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 10001000 人，得到如下列联表：
组别超声波检查结果正常超声波检查结果不正常合计
患该疾病2020180180200200
未患该疾病7807802020800800
合计80080020020010001000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值；
（2）根据小概率值 α=0.001\alpha=0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，
P(χ2⩾k)P(\chi^2\geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
kk3.8413.8416.6356.63510.82810.828

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16高考真题15分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 长轴长为 44。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 (0,−2)(0, -2) 的直线 ll 与 CC 交于 A,BA, B 两点, OO 为坐标原点。若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt{2}, 求 ∣AB∣|AB|。

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16高考真题15分数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 中, a1=3,an+1n=ann+1+1n(n+1)a_1 = 3, \frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}。
(1) 证明: 数列 {nan}\{na_n\} 是等差数列;
(2) 给定正整数 mm, 设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \dots + a_mx^m, 求 f′(−2)f'(-2)。

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16高考真题15分数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 中，a1=3a_1=3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\dfrac{a_{n+1}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}。
（1）证明：数列 {nan}\{na_n\} 是等差数列；
（2）给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2)。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四边形 ABCDABCD 中, AB∥CDAB \parallel CD, ∠DAB=90∘\angle DAB = 90^\circ, FF 为 CDCD 的中点, 点 EE 在 ABAB 上, EF∥ADEF \parallel AD, AB=3ADAB = 3AD, CD=2ADCD = 2AD。将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A', 使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ。
(1) 证明: A′B∥A'B \parallel 平面 CD′FCD'F;
(2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值。

2025全国二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, PA⊥PA \perp 底面 ABCD,AB⊥AD,BC∥ADABCD, AB \perp AD, BC \parallel AD。
(1) 证明: 平面 PAB⊥PAB \perp 平面 PADPAD;
(2) 设 PA=AB=2,BC=2,AD=1+3PA = AB = \sqrt{2}, BC = 2, AD = 1 + \sqrt{3}, 且点 P,B,C,DP, B, C, D 均在球 OO 的球面上。
① 证明: 点 OO 在平面 ABCDABCD 内;
② 求直线 ACAC 与 POPO 所成角的余弦值。

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