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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2=1E: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1（a>1a>1），过右焦点垂直于 xx 轴的直线被 EE 所截线段长为 2\sqrt{2}。
（1）求 EE 的离心率；
（2）设 OO 为坐标原点，给定点 G(t0,0)G(t_0, 0)（t0≠0t_0 \neq 0）；A(x0,y0)A(x_0, y_0)（y0≠0y_0 \neq 0）在 EE 上，过点 AA 作 yy 轴的垂线，交于点 BB，AOAO 与 GBGB 交于点 PP。当 AA 在 EE 上运动时，PP 的轨迹为 MM。
（i）求 MM 的方程；
（ii）曲线 MM 是否有中心点？当 t0t_0 为何值时，MM 有中心点？当 MM 有中心点时，平移 MM 到 M′M'，使 OO 为 M′M' 的中心点，说明 M′M' 为何形状？

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}。
（1）求 CC 的方程；
（2）设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR。
（i）若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程；
（ii）求 tan⁡∠PQR\tan\angle PQR 的最小值。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf(x) = x\mathrm{e}^x + ax + b，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程为 y=−2x+1y = -2x+1。
（1）求 aa，bb；
（2）当 x>0x > 0 时，f(x+m)−f(x)>mf(x+m) - f(x) > m，求 mm 的取值范围；
（3）当 x>0x > 0 时，f(x+k)+f(k−x)>2f(k)f(x+k) + f(k-x) > 2f(k)，求 kk 的最小值。

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19高考真题17分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2x。对任意 x0∈Rx_0\in\mathbb{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}。
（1）若当 x⩾0x\geqslant 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)；
（2）若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\neq 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；
（3）设 f(x)f(x) 满足：①若 f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；②当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0)。
（i）证明：f(0)⩾1f(0)\geqslant 1；
（ii）证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增。

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11高考真题6分解析几何★★★★★
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2F_1, F_2, 左、右顶点分别为 A1,A2A_1, A_2, 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 M,NM, N 两点, 且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}, 则 （ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2 = \frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1| = 2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a = \sqrt{2} 时, 四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt{3}

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3, 其中 0<k<130 < k < \frac{1}{3}。
(1) 证明: f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点;
(2) 设 x1,x2x_1, x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 的极值点和零点。
① 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t) = f(x_1 + t) - f(x_1 - t)。证明: g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0, x_1) 单调递减;
② 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小, 并证明你的结论。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}, 下顶点为 AA, 右顶点为 B,∣AB∣=10B, |AB| = \sqrt{10}。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上, 点 RR 在射线 APAP 上, 且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3。
① 设 P(m,n)P(m,n), 求 RR 的坐标;
② 设 OO 为坐标原点, QQ 是 CC 上的动点, 直线 OROR 的斜率是直线 OPOP 的斜率的 33 倍, 求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值。

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18高考真题17分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 223\dfrac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB|=\sqrt{10}。
（1）求 CC 的方程；
（2）已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP|\cdot|AR|=3。
① 设 P(m,n)P(m,n)，求 RR 的坐标（用 m,nm,n 表示）；
② 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OQOQ 的斜率是直线 OPOP 的 33 倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值。

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19高考真题17分概率与统计★★★★★
甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 11 分, 负者得 00 分。设每个球甲胜的概率为 pp (12<p<1\frac{1}{2} < p < 1), 乙胜的概率为 qq, p+q=1p + q = 1, 且各球的胜负相互独立。对正整数 k≥2k \ge 2, 记 pkp_k 为打完 kk 个球后甲比乙至少多得 22 分的概率, qkq_k 为打完 kk 个球后乙比甲至少多得 22 分的概率。
(1) 求 p3,p4p_3, p_4 (用 pp 表示);
(2) 若 p4−p3q4−q3=4\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4, 求 pp;
(3) 证明: 对任意正整数 mm, p2m+1−q2m+1<p2m−q2m<p2m+2−q2m+2p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}。

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19高考真题17分导数及其应用★★★★★
(1) 求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x 在区间 [0,π4][0, \frac{\pi}{4}] 的最大值;
(2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi) 和 a∈Ra \in \mathbb{R}, 证明: 存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a-\theta, a+\theta] 使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta;
(3) 设 b∈Rb \in \mathbb{R}, 若存在 ϕ∈R\phi \in \mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+ϕ)≤b5\cos x - \cos(5x + \phi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbb{R} 恒成立, 求 bb 的最小值。

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19高考真题17分三角函数★★★★★
（1）求函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x)=5\cos x-\cos 5x 在区间 [0,π4]\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] 的最大值；
（2）给定 θ∈(0,π)\theta\in(0,\pi) 和 a∈Ra\in\mathbb{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y\in[a-\theta,a+\theta] 使得 cos⁡y⩽cos⁡θ\cos y\leqslant\cos\theta；
（3）设 b∈Rb\in\mathbb{R}，若存在 φ∈R\varphi\in\mathbb{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)⩽b5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b 对 x∈Rx\in\mathbb{R} 恒成立，求 bb 的最小值。

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08高考真题5分数列★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}, f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x) > f(x-1) + f(x-2), 且当 x<3x < 3 时 f(x)=xf(x) = x, 则下列结论中一定正确的是 ( )
A.
f(10)>100f(10) > 100
B.
f(20)>1000f(20) > 1000
C.
f(10)<1000f(10) < 1000
D.
f(20)<10000f(20) < 10000

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11高考真题6分解析几何★★★★★
设计一条美丽的丝带, 其造型可以看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO, 且 CC 上的点满足: 横坐标大于 −2-2; 到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a (a<0a < 0) 的距离之积为 4. 则 ( )
fig-01
A.
a=−2a = -2
B.
点 (22,0)(2\sqrt{2}, 0) 在 CC 上
C.
CC 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1
D.
当点 (x0,y0)(x_0, y_0) 在 CC 上时, y0≤4x0+2y_0 \le \frac{4}{x_0+2}

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x) = \ln \frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^3. (1) 若 b=0b=0, 且 f′(x)≥0f'(x) \ge 0, 求 aa 的最小值; (2) 证明: 曲线 y=f(x)y = f(x) 是中心对称图形; (3) 若 f(x)>−2f(x) > -2 当且仅当 1<x<21 < x < 2, 求 bb 的取值范围.

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19高考真题17分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=m(m>0)C: x^2 - y^2 = m (m > 0), 点 P1(5,4)P_1(5, 4) 在 CC 上, kk 为常数, 0<k<10 < k < 1. 构造点 PnP_n: 过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}, 令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点.
(1) 若 k=12k = \frac{1}{2}, 求 x2,y2x_2, y_2;
(2) 证明: {xn−yn}\{x_n - y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列;
(3) 证明: 对于任意正整数 nn, △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积 Sn=Sn+1S_n = S_{n+1}.

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19高考真题17分数列★★★★★
设 mm 为正整数, 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是公差不为 00 的等差数列, 若从中删去两项 aia_i 和 aj (i<j)a_j\ (i<j) 后剩余的 4m4m 项可被平均分为 mm 组, 且每组的 44 个数都能构成等差数列, 则称数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有的 (i,j)(i,j), 1≤i<j≤61 \le i < j \le 6, 使数列 a1,a2,…,a6a_1, a_2, \ldots, a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列;
(2) 当 m≥3m \ge 3 时, 证明: 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列;
(3) 从 1,2,…,4m+21, 2, \ldots, 4m+2 中一次任取两个数 ii 和 j (i<j)j\ (i<j), 记数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m, 证明: Pm>18P_m > \frac{1}{8}.

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x) = (1 - ax)\ln(1 + x) - x. (1) 若 a=−2a = -2, 求 f(x)f(x) 的极值; (2) 当 x⩾0x \geqslant 0 时, f(x)⩾0f(x) \geqslant 0, 求 aa 的取值范围.

2024全国甲卷(理) · 第 21 题 · 解答题

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12高考真题6分概率与统计★★★★★
信号传输: 发送 0 收到 1 概率 α\alpha, 发送 1 收到 0 概率 β\beta。单次/三次传输译码方案, 则 （ ）
D.
0<α<0.50<\alpha<0.5 时, 三次译码为 0 概率大于单次

2023新高考II卷 · 第 12 题 · 多选题

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^{3}x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)。
（1）当 a=8a=8 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性；
（2）若 f(x)<sin⁡2xf(x)<\sin 2x，求 aa 的取值范围。

2023全国甲卷理科 · 第 21 题 · 解答题

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21高考真题12分解析几何★★★★★
椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, e=53e = \frac{\sqrt{5}}{3}, ∣A1A2∣=6|A_1A_2| = 6。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过 (−1,0)(-1,0) 的直线交 CC 于 M,NM,N, MA2MA_2 与 NA1NA_1 交于点 PP, 证明 PP 在定直线上。

2023全国甲卷(文) · 第 21 题 · 解答题

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21高考真题15分解析几何★★★★★
双曲线 CC 中心在原点, 左焦点 (−25,0)(-2\sqrt{5}, 0), 离心率 5\sqrt{5}。
(1) 求 CC 方程;
(2) 过 (−4,0)(-4, 0) 的直线交 CC 左支于 M,NM,N, MM 在第二象限, MA1MA_1 与 NA2NA_2 交于 PP, 证明 PP 在定直线上。

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21高考真题15分概率与统计★★★★★
甲乙投篮, 命中则继续, 不中则换人。甲命中率 0.60.6, 乙 0.80.8, 首投甲乙各 0.50.5 概率。
(1) 第 2 次投篮是乙的概率;
(2) 第 ii 次是甲的概率;
(3) 前 nn 次甲投篮次数 YY, 求 E(Y)E(Y)。

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22高考真题12分解析几何★★★★★
直线 x−2y+1=0x - 2y + 1 = 0 与 y2=2pxy^2 = 2px (p>0p > 0) 交于 A,BA,B, ∣AB∣=415|AB| = 4\sqrt{15}。
(1) 求 pp;
(2) FF 为焦点, M,NM,N 为 CC 上两点, MF→⋅NF→=0\overrightarrow{MF} \cdot \overrightarrow{NF} = 0, 求 △MNF\triangle MNF 面积最小值。

2023全国甲卷(文) · 第 22 题 · 解答题

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22高考真题15分导数及其应用★★★★★
(1) 证明 0<x<10 < x < 1 时 x−x2<sin⁡x<xx - x^2 < \sin x < x;
(2) f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x) = \cos ax - \ln(1 - x^2), 若 x=0x = 0 是 f(x)f(x) 的极大值点, 求 aa 范围。

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22高考真题15分解析几何★★★★★
PP 到 xx 轴距离等于到 (0,12)(0,\frac{1}{2}) 距离, 轨迹为 WW。
(1) 求 WW 方程;
(2) 矩形 ABCDABCD 有三顶点在 WW 上, 证周长 >33>3\sqrt{3}。

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