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09高考真题5分解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左焦点为 FF， AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA| = |FP|，∠FAP=30∘\angle FAP = 30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
4
B.
8
C.
3\sqrt{3}
D.
43\frac{4}{3}

2026天津卷 · 第 9 题 · 选择题

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11高考真题6分解析几何★★★★☆
已知抛物线 E:y2=8xE: y^2=8x，斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 过点 (1,0)(1, 0)，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，AA 在 yy 轴上，BB，CC 在 ll 上，则（ ）
A.
抛物线的准线方程为 x=−2x=-2
B.
ll 与 yy 轴交点为 (0,−k)(0, -k)
C.
若 ll 与 EE 相交于唯一的点 BB，则抛物线的焦点在直线 ABAB 上
D.
当 k=2k=2 时，△ABC\triangle ABC 面积的最小值为 32\frac{\sqrt{3}}{2}

2026全国二卷 · 第 11 题 · 多选题

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11高考真题6分解析几何★★★★☆
已知圆 C1:(x+1)2+y2=1C_1:(x+1)^2+y^2=1，圆 C2:(x−1)2+y2=1C_2:(x-1)^2+y^2=1，圆 C3:x2+(y−3)2=1C_3:x^2+(y-\sqrt{3})^2=1，直线 l:y=kx+bl:y=kx+b 与 C1C_1，C2C_2，C3C_3 均有两个交点。记 ll 被 C1C_1，C2C_2，C3C_3 截得的弦长分别为 s1s_1、s2s_2、s3s_3，则（ ）
A.
kk 可以取任意实数
B.
满足 s1=s2=s3s_1=s_2=s_3 的直线 ll 共有 33 条
C.
满足 s1+s2+s3=3s_1+s_2+s_3=3 的直线 ll 多于 33 条
D.
当 b=0b=0 时，s1+s2+s3s_1+s_2+s_3 的最大值为 2213\dfrac{2\sqrt{21}}{3}

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18高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 A:x2a2+y2b2=1A: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx = b 截得的线段长为 3\sqrt{3}。
(1) 求 AA 的标准方程；
(2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2 + y^2 = b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) (y1<y2y_1 < y_2)，AA 是椭圆的上顶点。记直线 AP,AQAP, AQ 的斜率分别为 k1,k2k_1, k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}。

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07高考真题5分解析几何★★★★☆
已知圆 x2+(y+2)2=r2(r>0)x^2 + (y + 2)^2 = r^2 (r > 0) 上到直线 y=3x+2y = \sqrt{3}x + 2 的距离为 11 的点有且仅有两个, 则 rr 的取值范围是 （ ）
A.
(0, 1)
B.
(1, 3)
C.
(3, +\infty)
D.
(0, +\infty)

2025全国一卷 · 第 7 题 · 选择题

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09高考真题5分解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0,b>0a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1F_1 和 F2F_2, 以 F2F_2 为焦点的抛物线 y2=2pxy^2 = 2px (p>0p > 0) 与双曲线在第一象限的交点为 PP。若 ∣PF1∣+∣PF2∣=3∣F1F2∣|PF_1| + |PF_2| = 3|F_1F_2|, 则双曲线的离心率为 （ ）
A.
22
B.
5\sqrt{5}
C.
2+12\frac{\sqrt{2} + 1}{2}
D.
5+12\frac{\sqrt{5} + 1}{2}

2025天津卷 · 第 9 题 · 选择题

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10高考真题6分解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=6xC: y^2 = 6x 的焦点为 FF, 过 FF 的一条直线交 CC 于 A,BA, B 两点, 过 AA 作直线 l:x=−32l: x = -\frac{3}{2} 的垂线, 垂足为 DD, 过 FF 且与直线 ABAB 垂直的直线交 ll 于点 EE, 则 （ ）
A.
∣AD∣=∣AF∣|AD| = |AF|
B.
∣AE∣=∣AB∣|AE| = |AB|
C.
∣AB∣≥6|AB| \ge 6
D.
∣AE∣⋅∣BE∣≥18|AE| \cdot |BE| \ge 18

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10高考真题6分解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=6xC:y^2=6x 的焦点为 FF，过 FF 的一条直线交 CC 于 A,BA,B 两点，过 AA 作直线 l:x=−32l:x=-\dfrac{3}{2} 的垂线，垂足为 DD，过 FF 且与直线 ABAB 垂直的直线交 ll 于点 EE，则（ ）
A.
∣AD∣=∣AF∣|AD|=|AF|
B.
∣AE∣=∣AB∣|AE|=|AB|
C.
∣AB∣⩾6|AB|\geqslant 6
D.
∣AE∣⋅∣BE∣⩾18|AE|\cdot|BE|\geqslant 18

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16高考真题15分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 长轴长为 44。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 (0,−2)(0, -2) 的直线 ll 与 CC 交于 A,BA, B 两点, OO 为坐标原点。若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt{2}, 求 ∣AB∣|AB|。

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18高考真题15分解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 12\frac{1}{2}, 左焦点为 FF, 右顶点为 AA, 点 PP 在直线 x=ax = a 上, 直线 FPFP 的斜率为 13\frac{1}{3}, △PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac{3}{2}。
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若过 PP 的直线与椭圆有唯一公共点 BB (BB 异于 AA), 求证: FPFP 平分 ∠AFB\angle AFB。

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 椭圆 EE 上的点到两焦点的距离之和为 44。
(1) 求椭圆 EE 的方程;
(2) 设 OO 为坐标原点, 点 M(x0,y0)M(x_0, y_0) (x0≠0x_0 \ne 0) 在椭圆 EE 上, 直线 x0x+2y0y−4=0x_0x + 2y_0y - 4 = 0 与直线 y=2y = 2, y=−2y = -2 分别交于点 A,BA, B。设 △OAM\triangle OAM 和 △OBM\triangle OBM 的面积分别为 S1,S2S_1, S_2, 比较 S1S2\frac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\frac{|OA|}{|OB|} 的大小。

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
已知 bb 是 a,ca, c 的等差中项, 直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与圆 x2+y2+4y−1=0x^2 + y^2 + 4y - 1 = 0 交于 A,BA, B 两点, 则 ∣AB∣|AB| 的最小值为 （ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
252\sqrt{5}

2024全国甲卷(理) · 第 12 题 · 选择题

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16高考真题15分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3) 和 P(3,32)P(3, \frac{3}{2}) 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 上两点. (1) 求 CC 的离心率; (2) 若过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB, 且 △ABP\triangle ABP 的面积为 9, 求 ll 的方程.

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0), 焦点和短轴端点构成边长为 22 的正方形。
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率; (2) 过 (0,t)(0, t) (t>2t > \sqrt{2}) 的直线与椭圆交于 A,BA, B, 直线 ACAC (C(0,1)C(0,1)) 与椭圆交于 DD。若 BDBD 斜率为 00, 求 tt。

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的右焦点为 FF, 点 M(1,32)M(1, \dfrac{3}{2}) 在 CC 上, 且 MF⊥xMF \perp x 轴. (1) 求 CC 的方程; (2) 过点 P(4,0)P(4, 0) 的直线交 CC 于 A,BA, B 两点, NN 为线段 FPFP 的中点, 直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ, 证明: AQ⊥yAQ \perp y 轴.

2024全国甲卷(理) · 第 20 题 · 解答题

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的右焦点为 FF, 点 M(1,32)M\left(1, \dfrac{3}{2}\right) 在 CC 上, 且 MF⊥xMF \perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 P(4,0)P(4, 0) 的直线交 CC 于 A,BA, B 两点, NN 为线段 FPFP 的中点, 直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ, 证明: AQ⊥yAQ \perp y 轴.

2024全国甲卷(文) · 第 21 题 · 解答题

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
设 OO 为坐标原点，F1,F2F_{1},F_{2} 为椭圆 C:x29+y26=1C: \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{6}=1 的两个焦点，点 PP 在 CC 上，cos⁡∠F1PF2=35\cos\angle F_{1}PF_{2}=\dfrac{3}{5}，则 ∣OP∣=|OP|=（ ）
A.
135\dfrac{\sqrt{13}}{5}
B.
302\dfrac{\sqrt{30}}{2}
C.
145\dfrac{14}{5}
D.
352\dfrac{\sqrt{35}}{2}

2023全国甲卷理科 · 第 12 题 · 选择题

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
已知 ⊙O\odot O 的半径为 11, 直线 PAPA 与 ⊙O\odot O 相切于点 AA, 直线 PBPB 与 ⊙O\odot O 交于 B,CB, C 两点, DD 为 BCBC 的中点, 若 ∣PO∣=2|PO| = \sqrt{2}, 则 PA→⋅PD→\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD} 的最大值为 （ ）
A.
12+22\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}
B.
12+2\dfrac{1}{2} + \sqrt{2}
C.
1+21 + \sqrt{2}
D.
2+22 + \sqrt{2}

2023全国乙卷(理) · 第 12 题 · 选择题

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
设 A,BA, B 为双曲线 x2−y29=1x^2 - \frac{y^2}{9} = 1 上两点, 下列四个点中, 可以为线段 ABAB 中点的是 （ ）
A.
(1,1)(1, 1)
B.
(−1,2)(-1, 2)
C.
(1,3)(1, 3)
D.
(−1,−4)(-1, -4)

2023全国乙卷(文) · 第 12 题 · 选择题

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16高考真题5分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, 点 AA 在 CC 上, BB 在 yy 轴上, F1A→⊥F1B→\overrightarrow{F_1A} \perp \overrightarrow{F_1B}, F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{F_2B}, 离心率______。

2023新高考I卷 · 第 16 题 · 填空题

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18高考真题15分解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, A(−a,0)A(-a,0), 右焦点 FF, PP 在 yy 轴上, △APF\triangle APF 为正三角形。
(1) 求离心率;
(2) 过 FF 的直线交椭圆于 M,NM,N, △AMN\triangle AMN 面积最大时求直线方程。

2023天津卷 · 第 18 题 · 解答题

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19高考真题14分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 53\frac{\sqrt{5}}{3}, A,CA, C 分别是 EE 的上、下顶点, B,DB, D 分别是 EE 的左、右顶点, ∣AC∣=4|AC| = 4。
(1) 求 EE 的方程；
(2) 设 PP 为第一象限内 EE 上的动点, 直线 PDPD 与直线 BCBC 交于点 MM, 直线 PAPA 与直线 y=−2y = -2 交于点 NN。求证: MN∥CDMN \parallel CD。

2023北京卷 · 第 19 题 · 解答题

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2px(p>0)C:y^{2}=2px(p>0) 交于 A,BA,B 两点，∣AB∣=415|AB|=4\sqrt{15}。
（1）求 pp；
（2）设 FF 为 CC 的焦点，M,NM,N 为 CC 上两点，且 FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值。

2023全国甲卷理科 · 第 20 题 · 解答题

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1C: \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率是 53\dfrac{\sqrt{5}}{3}, 点 A(−2,0)A(-2, 0) 在 CC 上。
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 (−2,3)(-2, 3) 的直线交 CC 于 P,QP, Q 两点, 直线 AP,AQAP, AQ 与 yy 轴的交点分别为 M,NM, N, 证明: 线段 MNMN 的中点为定点。

2023全国乙卷(文) · 第 21 题 · 解答题

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11高考真题5分解析几何★★★★☆
双曲线 CC 的两个焦点为 F1,F2F_1, F_2, 以 CC 的实轴为直径的圆记为 DD, 过 F1F_1 作 DD 的切线与 CC 交于 M,NM, N 两点, 且 cos⁡∠F1NF2=35\cos \angle F_1 N F_2 = \dfrac{3}{5}, 则 CC 的离心率为 （ ）
A.
52\dfrac{\sqrt{5}}{2}
B.
32\dfrac{3}{2}
C.
132\dfrac{\sqrt{13}}{2}
D.
172\dfrac{\sqrt{17}}{2}

2022全国乙卷(理) · 第 11 题 · 选择题

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