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15高考真题5分数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列, 且都不是常数列。记集合 M={k∣ak=bk;k∈N∗}M = \{k \mid a_k = b_k; k \in \mathbb{N}^*\}, 给出下列四个结论: ① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列, 则 MM 中最多有 11 个元素; ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列, 则 MM 中最多有 22 个元素; ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列, {bn}\{b_n\} 为等比数列, 则 MM 中最多有 33 个元素; ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列, {bn}\{b_n\} 为递减数列, 则 MM 中最多有 11 个元素。 其中正确结论的序号是 ______。

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15高考真题13分三角函数★★☆☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c, 已知 sin⁡A+3cos⁡A=2\sin A + \sqrt{3} \cos A = 2.
(1) 求 AA;
(2) 若 a=2,2bsin⁡C=csin⁡2Ba = 2, \sqrt{2}b \sin C = c \sin 2B, 求 △ABC\triangle ABC 的周长.

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15高考真题13分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C = \sqrt{2} \cos B, a2+b2−c2=2aba^2+b^2-c^2 = \sqrt{2}ab. (1) 求 BB; (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt{3}, 求 cc.

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16高考真题5分导数及其应用★★★★☆
当 x>0x > 0 时, 曲线 y=x3−3xy = x^3 - 3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay = -(x - 1)^2 + a 有两个交点, 则 aa 的取值范围是______.

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16高考真题5分概率与统计★★★★☆
有 66 个相同的球, 分别标有数字 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6, 从中无放回地随机取 33 次, 每次取 11 个球. 设 mm 为前两次取出的球上数字的平均值, nn 为取出的三个球上数字的平均值, 则 ∣m−n∣⩽12|m - n| \leqslant \dfrac{1}{2} 的概率为______.

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, ∠A\angle A 为钝角, a=7,sin⁡2B=37bcos⁡Ba = 7, \sin 2B = \dfrac{\sqrt{3}}{7} b \cos B。
(1) 求 ∠A\angle A;
(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC\triangle ABC 存在, 求 △ABC\triangle ABC 的面积。 条件①: b=7b = 7; 条件②: cos⁡B=1314\cos B = \dfrac{13}{14}; 条件③: csin⁡A=532c \sin A = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}。

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16高考真题15分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x) = e^x - ax - a^3.
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 有极小值, 且极小值小于 0, 求 aa 的取值范围.

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16高考真题15分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3) 和 P(3,32)P(3, \frac{3}{2}) 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 上两点. (1) 求 CC 的离心率; (2) 若过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB, 且 △ABP\triangle ABP 的面积为 9, 求 ll 的方程.

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17高考真题12分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 已知 2Sn=3an+1−32S_n = 3a_{n+1} - 3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式;
(2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

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17高考真题12分概率与统计★★☆☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150150 件进行检验, 数据如下:
优级品合格品不合格品总计
甲车间26262424005050
乙车间7070282822100100
总计9696525222150150
(1) 填写如下列联表:
优级品非优级品合计
甲车间
乙车间
合计
能否有 95%95\% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有 99%99\% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p = 0.5. 设 p^\hat{p} 为升级改造后抽取的 nn 件产品的优级品率, 如果 p^>p+1.65p(1−p)n\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150150 件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (150≈12.247\sqrt{150} \approx 12.247)
附: K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},
P(K2⩾k)P(K^2 \geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
kk3.8413.8416.6356.63510.82810.828

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17高考真题15分立体几何初步★★★☆☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, BC∥AD,AB=BC=1,AD=3BC \parallel AD, AB = BC = 1, AD = 3。点 EE 在 ADAD 上, 且 PE⊥AD,PE=DE=2PE \perp AD, PE = DE = 2。
(1) 若 FF 为线段 PEPE 的中点, 求证: BF∥BF \parallel 平面 PCDPCD;
(2) 若 AB⊥AB \perp 平面 PADPAD, 求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 夹角的余弦值。
gaokaomath-2024-G-beijing-17-fig-01

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 平面四边形 ABCDABCD 中, AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90∘,∠BAD=30∘AB = 8, CD = 3, AD = 5\sqrt{3}, \angle ADC = 90^\circ, \angle BAD = 30^\circ, 点 E,FE, F 满足 AE⃗=25AD⃗,AF⃗=12AB⃗\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{AD}, \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB}, 将 △AEF\triangle AEF 沿 EFEF 翻折至 △PEF\triangle PEF, 使得 PC=43PC = 4\sqrt{3}.
(1) 证明: EF⊥PDEF \perp PD;
(2) 求面 PCDPCD 与面 PBFPBF 所成的二面角的正弦值.
diagram

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD, PA=AC=2PA = AC = 2, BC=1BC = 1, AB=3AB = \sqrt{3}. (1) 若 AD∥PBAD \parallel PB, 证明: AD⊥AD \perp 平面 PBCPBC; (2) 若 AD⊥DCAD \perp DC, 且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}, 求 ADAD.
fig-01

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18高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150150 件进行检验, 数据如下:
优级品合格品不合格品总计
甲车间26262424005050
乙车间7070282822100100
总计9696525222150150
(1) 填写如下列联表:
优级品非优级品合计
甲车间
乙车间
合计
能否有 95%95\% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有 99%99\% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5p = 0.5. 设 p^\hat{p} 为升级改造后抽取的 nn 件产品的优级品率, 如果 p^>p+1.65p(1−p)n\hat{p} > p + 1.65\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}, 则认为该工厂产品的优级品率提高了. 根据抽取的 150150 件产品的数据, 能否认为生产线智能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (150≈12.247\sqrt{150} \approx 12.247)
附: K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},
P(K2⩾k)P(K^2 \geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
kk3.8413.8416.6356.63510.82810.828

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18高考真题12分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和, 已知 4Sn=3an+44S_n = 3a_n + 4. (1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式; (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n = (-1)^{n-1} n a_n, 求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某保险公司随机抽取 10001000 份保单, 索赔情况如下表:
索赔次数01234
保单份数800100603010
保费 0.40.4 万元; 前三次索赔每次赔偿 0.80.8 万元; 第四次赔偿 0.60.6 万元。
(1) 估计一份保单索赔次数不少于 22 的概率; (2) ① 记 XX 为一份保单的毛利润, 估计 EXEX; ② 比较保费调整后新期望值与 EXEX 的大小。

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成. 第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次, 若 3 次都未投中, 则该队被淘汰; 若至少投中 1 次, 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员投篮 3 次, 每次投中得 5 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 甲每次投中概率为 pp, 乙为 qq, 各次独立.
(1) 若 p=0.4,q=0.5p = 0.4, q = 0.5, 甲参加第一阶段, 求得分不少于 5 分的概率;
(2) 假设 0<p<q0 < p < q. ① 为使成绩为 15 分概率最大, 应选谁参加第一阶段? ② 为使成绩期望最大, 应选谁参加第一阶段?

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x) = \ln \frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^3. (1) 若 b=0b=0, 且 f′(x)≥0f'(x) \ge 0, 求 aa 的最小值; (2) 证明: 曲线 y=f(x)y = f(x) 是中心对称图形; (3) 若 f(x)>−2f(x) > -2 当且仅当 1<x<21 < x < 2, 求 bb 的取值范围.

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在以 A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形, EF∥ADEF \parallel AD, BC∥ADBC \parallel AD, AD=4AD = 4, AB=BC=EF=2AB = BC = EF = 2, ED=10ED = \sqrt{10}, FB=23FB = 2\sqrt{3}, MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明: BM∥BM \parallel 平面 CDECDE;
(2) 求 MM 到平面 FABFAB 的距离.

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在以 A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形, EF∥ADEF \parallel AD, BC∥ADBC \parallel AD, AD=4AD = 4, AB=BC=EF=2AB = BC = EF = 2, ED=10ED = \sqrt{10}, FB=23FB = 2\sqrt{3}, MM 为 ADAD 的中点. (1) 证明: BM∥BM \parallel 平面 CDECDE; (2) 求二面角 F−BM−EF - BM - E 的正弦值.

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0), 焦点和短轴端点构成边长为 22 的正方形。
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率; (2) 过 (0,t)(0, t) (t>2t > \sqrt{2}) 的直线与椭圆交于 A,BA, B, 直线 ACAC (C(0,1)C(0,1)) 与椭圆交于 DD。若 BDBD 斜率为 00, 求 tt。

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19高考真题17分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=m(m>0)C: x^2 - y^2 = m (m > 0), 点 P1(5,4)P_1(5, 4) 在 CC 上, kk 为常数, 0<k<10 < k < 1. 构造点 PnP_n: 过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}, 令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点.
(1) 若 k=12k = \frac{1}{2}, 求 x2,y2x_2, y_2;
(2) 证明: {xn−yn}\{x_n - y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列;
(3) 证明: 对于任意正整数 nn, △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积 Sn=Sn+1S_n = S_{n+1}.

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19高考真题17分数列★★★★★
设 mm 为正整数, 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是公差不为 00 的等差数列, 若从中删去两项 aia_i 和 aj (i<j)a_j\ (i<j) 后剩余的 4m4m 项可被平均分为 mm 组, 且每组的 44 个数都能构成等差数列, 则称数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有的 (i,j)(i,j), 1≤i<j≤61 \le i < j \le 6, 使数列 a1,a2,…,a6a_1, a_2, \ldots, a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列;
(2) 当 m≥3m \ge 3 时, 证明: 数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列;
(3) 从 1,2,…,4m+21, 2, \ldots, 4m+2 中一次任取两个数 ii 和 j (i<j)j\ (i<j), 记数列 a1,a2,…,a4m+2a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m, 证明: Pm>18P_m > \frac{1}{8}.

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20高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x) = a(x - 1) - \ln x + 1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性;
(2) 设 a⩽2a \leqslant 2, 证明: 当 x>1x > 1 时, f(x)<ex−1f(x) < e^{x-1}.

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的右焦点为 FF, 点 M(1,32)M(1, \dfrac{3}{2}) 在 CC 上, 且 MF⊥xMF \perp x 轴. (1) 求 CC 的方程; (2) 过点 P(4,0)P(4, 0) 的直线交 CC 于 A,BA, B 两点, NN 为线段 FPFP 的中点, 直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ, 证明: AQ⊥yAQ \perp y 轴.

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